Objetivos da aula
- Usar seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.
- Ler seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico e reduzir arcos grandes.
- Aplicar as fórmulas de soma, diferença e arco duplo.
- Resolver triângulos quaisquer com as leis dos senos e dos cossenos.
Razões no triângulo retângulo
A trigonometria começa com uma observação simples: em triângulos retângulos de mesmo ângulo, as razões entre os lados são sempre as mesmas, não importa o tamanho do triângulo. Essas razões ganharam nome.
sen θ = cateto oposto ÷ hipotenusa
cos θ = cateto adjacente ÷ hipotenusa
tg θ = cateto oposto ÷ cateto adjacente
Onde θ é um dos ângulos agudos do triângulo. Da terceira definição sai uma relação que economiza tempo:
tg θ = sen θ ÷ cos θ
1.1 Os ângulos notáveis
Três ângulos aparecem em praticamente toda prova, e vale ter a tabela na cabeça:
| Ângulo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | não definida |
Repare na simetria: os senos sobem 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 e os cossenos fazem o mesmo de trás para frente. Isso acontece porque 30° e 60° são complementares — e sen θ = cos(90° − θ).
A tangente de 90° não existe porque o cosseno zera ali, e não se divide por zero.
1.2 A relação fundamental
sen2θ + cos2θ = 1
É o teorema de Pitágoras disfarçado, e é a identidade mais usada de todas: dado um dos dois valores, ela entrega o outro.
Graus e radianos
O radiano é a medida de ângulo usada em matemática mais avançada: um ângulo de 1 radiano subtende um arco de comprimento igual ao raio. A volta completa, que tem 360°, vale 2π radianos.
180° = π rad
Dessa igualdade sai toda conversão, por regra de três. Para passar de graus a radianos, multiplique por π/180; para o contrário, multiplique por 180/π.
Exemplo. 45° × π/180 = π/4 rad.
| Graus | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianos | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
O ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Ele estende as definições para ângulos de qualquer tamanho, inclusive maiores que 90° e negativos — coisa que o triângulo retângulo não permite.
A regra que organiza tudo
Para um ponto do ciclo correspondente ao ângulo θ:
- a coordenada x é o cosseno;
- a coordenada y é o seno.
3.1 Os sinais por quadrante
| Quadrante | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 1º (0° a 90°) | + | + | + |
| 2º (90° a 180°) | + | − | − |
| 3º (180° a 270°) | − | − | + |
| 4º (270° a 360°) | − | + | − |
O seno acompanha o eixo vertical (positivo em cima), o cosseno o horizontal (positivo à direita), e a tangente é o quociente — positiva quando os dois têm o mesmo sinal.
3.2 Reduzindo arcos grandes
Depois de 360° o ângulo dá uma volta completa e cai no mesmo ponto. Então, para qualquer ângulo maior que uma volta:
Divida por 360 e fique com o resto
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo dependem só do resto da divisão dele por 360°. Assim, sen 2370° = sen 210°, porque 2370 = 6 × 360 + 210.
Ângulos negativos são o mesmo ângulo percorrido no sentido horário: sen(−60°) = sen(300°).
3.3 Relações de simetria
- se α + β = 90°: sen α = cos β e cos α = sen β;
- se α + β = 180°: sen α = sen β e cos α = −cos β;
- se α = β + 180°: sen α = −sen β, cos α = −cos β e tg α = tg β.
As funções trigonométricas
| Período | Domínio | Imagem | Paridade | |
|---|---|---|---|---|
| sen x | 2π | ℝ | [−1, 1] | ímpar |
| cos x | 2π | ℝ | [−1, 1] | par |
| tg x | π | ℝ exceto π/2 + kπ | ℝ | ímpar |
Função ímpar quer dizer f(−x) = −f(x); par quer dizer f(−x) = f(x). Por isso sen(−x) = −sen x e cos(−x) = cos x.
A tangente não existe onde o cosseno zera, e é justamente aí que o gráfico dela tem assíntotas verticais. Note também que o período dela é π, metade do período das outras duas.
Soma, diferença e arco duplo
Estas fórmulas servem para simplificar expressões e para achar valores de ângulos que não estão na tabela — 75°, por exemplo, é 45° + 30°.
5.1 Soma e diferença de arcos
sen(A + B) = sen A · cos B + cos A · sen B
sen(A − B) = sen A · cos B − cos A · sen B
cos(A + B) = cos A · cos B − sen A · sen B
cos(A − B) = cos A · cos B + sen A · sen B
tg(A + B) = (tg A + tg B) ÷ (1 − tg A · tg B)
tg(A − B) = (tg A − tg B) ÷ (1 + tg A · tg B)
Repare no detalhe que mais confunde: no cosseno os sinais trocam em relação ao que se espera — cos(A + B) tem um menos no meio.
5.2 Arco duplo
Saem das anteriores fazendo B = A:
sen 2θ = 2 · sen θ · cos θ
cos 2θ = cos2θ − sen2θ = 2cos2θ − 1 = 1 − 2sen2θ
tg 2θ = 2 tg θ ÷ (1 − tg2θ)
As três versões do cosseno do arco duplo são equivalentes — use a que combina com o que o problema deu.
5.3 Arco metade
sen(θ/2) = ± √[(1 − cos θ) ÷ 2]
cos(θ/2) = ± √[(1 + cos θ) ÷ 2]
O sinal depende do quadrante em que θ/2 cai — não é opcional, precisa ser decidido.
5.4 Arco triplo
Raramente cobrado fora de ITA e IME, mas vale conhecer:
sen 3θ = 3 sen θ − 4 sen3θ
cos 3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ
tg 3θ = (3 tg θ − tg3θ) ÷ (1 − 3 tg2θ)
Reconhecer a terceira dessas de trás para frente já resolveu questão de ITA: uma fração com essa cara é uma tangente de arco triplo.
Leis dos senos e dos cossenos
As razões da primeira seção só valem em triângulo retângulo. Para um triângulo qualquer, existem duas leis. Em ambas, a, b e c são os lados e A, B e C os ângulos opostos a eles.
6.1 Lei dos senos
a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C = 2r
Onde r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Use quando o problema relaciona lados e ângulos opostos — tipicamente quando você conhece dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo oposto a um deles.
Exemplo. Num triângulo, A = 30°, B = 45° e a = 10. Qual o lado b?
10 ÷ sen 30° = b ÷ sen 45°
b = 10 · sen 45° ÷ sen 30° = 10 · (√2/2) ÷ (1/2) = 10√2 ≈ 14,14
6.2 Lei dos cossenos
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos A
Use quando o problema dá dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados e pede um ângulo.
Ela é uma generalização do teorema de Pitágoras: se A = 90°, então cos A = 0, o último termo some e sobra a2 = b2 + c2.
Exemplo. Num triângulo, b = 7, c = 10 e A = 60°. Qual o lado a?
a2 = 49 + 100 − 2 · 7 · 10 · (1/2) = 149 − 70 = 79
a = √79 ≈ 8,89
Qual lei usar
- Tem um par lado-ângulo oposto completo? Lei dos senos.
- Tem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados? Lei dos cossenos.
Exercícios
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(UFAL) O seno de um arco de medida 2370° é igual a:
a) −1 · b) −1/2 · c) 0 · d) √3/2 · e) 1
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(IFAL) Considerando o arco trigonométrico α = 23π/3 rad, assinale a alternativa falsa:
a) α = 1380° · b) α dá três voltas e para no 4º quadrante · c) sen α = −sen 60° · d) cos α = cos 60° · e) α dá três voltas e para no 1º quadrante
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(PUC) Se sen x = −1, então sen 3x é:
a) −1/3 · b) 0 · c) 1 · d) −1 · e) −3
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(Carlos Chagas) O número de soluções da equação cos 2x = 1/2 no intervalo [−π, π] é:
a) 0 · b) 1 · c) 2 · d) 3 · e) 4
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(UF Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado mede:
a) 2√21 m · b) 2√31 m · c) 2√41 m · d) 2√51 m · e) 2√61 m
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(UECE) O menor lado de um paralelogramo cujas diagonais medem 8√2 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 45° mede:
a) √13 m · b) √17 m · c) 13√2/4 m · d) 17√2/5 m
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(Cesgranrio) Uma rampa plana de 36 m de comprimento faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. A elevação vertical é de:
a) 6√3 m · b) 12 m · c) 13,6 m · d) 9√3 m · e) 18 m
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Uma reta passa pela origem e por um dos pontos abaixo. Qual deles não pode estar sobre uma reta de inclinação 0°, 30°, 45°, 60° ou 90° em relação ao eixo horizontal?
a) (0, 10√3) · b) (10√3, 0) · c) (10√3, 10√3) · d) (10√3, 5/√3) · e) (10√3, 10)
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Desafio (ITA 2018). Com relação à equação
(tg3x − 3 tg x) ÷ (1 − 3 tg2x) + 1 = 0
podemos afirmar que:
a) No intervalo (−π/2, π/2) a soma das soluções é igual a 0 · b) No intervalo (−π/2, π/2) a soma das soluções é maior que 0 · c) A equação admite apenas uma solução real · d) Existe uma única solução no intervalo (0, π/2) · e) Existem duas soluções no intervalo (−π/2, 0)
-
Desafio (IME 2018). O número de soluções reais da equação (cos x)2018 = 2 − 2(x/π)2 é:
a) 0 · b) 1 · c) 2 · d) 3 · e) 4