Objetivos da aula
- Contar possibilidades com o princípio fundamental da contagem.
- Distinguir permutação, arranjo e combinação — e saber qual usar.
- Calcular probabilidades de eventos simples, união e interseção.
- Aplicar probabilidade condicional e o teorema de Bayes.
Fatorial
O fatorial de um número natural n é o produto de todos os inteiros positivos até ele:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1
Por exemplo, 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Por convenção, 0! = 1 — não é capricho: essa definição é o que faz as fórmulas de combinação funcionarem nos casos extremos.
Na prática, quase nunca é preciso calcular o fatorial inteiro: numa divisão como 10!/8!, simplifique antes — 10!/8! = 10 · 9 = 90.
Princípio fundamental da contagem
Se uma escolha pode ser feita de m maneiras e, para cada uma delas, uma segunda escolha pode ser feita de n maneiras, então o total de possibilidades é m · n. E assim por diante para mais etapas.
Exemplo. Com 4 camisas, 3 calças e 2 pares de sapatos, o número de combinações de roupa é 4 · 3 · 2 = 24.
Esse princípio é a base de tudo o que vem a seguir — as fórmulas de permutação, arranjo e combinação são só atalhos para casos particulares dele.
2.1 Exemplo com restrição
Quantos números de 4 algarismos distintos existem?
Pense posição por posição. O primeiro algarismo não pode ser 0, então há 9 opções. Para o segundo, sobram 9 (os 10 menos o já usado, mas o 0 agora vale). Para o terceiro, 8; para o quarto, 7:
9 · 9 · 8 · 7 = 4 536
Restrições se resolvem assim: trate primeiro a posição mais restrita.
Permutações
Uma permutação é um reordenamento de todos os elementos de um conjunto. Com n elementos distintos:
Pn = n!
Exemplo. Seis amigos numa fila podem se organizar de 6! = 720 maneiras. E os anagramas de BOLA, cujas quatro letras são todas diferentes, são 4! = 24.
3.1 Permutação com repetição
Quando há elementos repetidos, trocar dois iguais de lugar não produz um arranjo novo — então é preciso dividir pelo fatorial de cada repetição:
P = n! ÷ (p1! · p2! · … · pk!)
Onde n é o total de elementos e p1, p2, … são as quantidades de cada elemento repetido.
Exemplo. A palavra CASA tem 4 letras, com o A repetido duas vezes:
P = 4! ÷ 2! = 24 ÷ 2 = 12
Outro exemplo. BANANA tem 6 letras, com A três vezes e N duas:
P = 6! ÷ (3! · 2!) = 720 ÷ 12 = 60
3.2 Permutações caóticas
Uma permutação caótica é aquela em que nenhum elemento fica na posição original. O número delas, escrito !n, é:
!n = n! · (1/0! − 1/1! + 1/2! − 1/3! + … ± 1/n!)
Exemplo. Para 4 elementos:
!4 = 24 · (1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24) = 24 · (9/24) = 9
É o problema clássico do amigo secreto em que ninguém tira a si mesmo.
Arranjos e combinações
Aqui se escolhe p elementos de um total de n, sem usar todos. A diferença entre os dois está numa única pergunta.
A pergunta que decide
A ordem muda o resultado?
- Sim → é arranjo. Pódio, senha, cargos diferentes, números.
- Não → é combinação. Comissão, equipe, conjunto de bolas, subconjunto.
Teste rápido: se trocar dois elementos de lugar produz uma situação diferente, é arranjo. Ouro e prata trocados é outro resultado; dois membros de uma comissão trocados é a mesma comissão.
4.1 Arranjo simples
An,p = n! ÷ (n − p)!
Exemplo. Quantos arranjos de 3 letras se formam com A, B, C, D, E?
A5,3 = 5! ÷ 2! = 120 ÷ 2 = 60
4.2 Combinação simples
Cn,p = n! ÷ [p! · (n − p)!]
É o arranjo dividido por p!, justamente porque as p! ordens possíveis dos mesmos elementos contam como uma só.
Exemplo. Quantos grupos de 3 pessoas se formam a partir de 5?
C5,3 = 5! ÷ (3! · 2!) = 120 ÷ 12 = 10
4.3 Quando há etapas independentes, multiplique
Escolher 3 homens entre 6 e 2 mulheres entre 4 são duas contagens separadas que se combinam pelo princípio multiplicativo:
C6,3 · C4,2 = 20 · 6 = 120
Probabilidade
Quando todos os resultados possíveis são igualmente prováveis:
P(A) = casos favoráveis ÷ casos possíveis
O resultado está sempre entre 0 e 1. Multiplicado por 100, vira porcentagem.
Exemplo. Num dado honesto, a probabilidade de sair número par é 3/6 = 1/2.
Toda a combinatória anterior serve justamente para contar o numerador e o denominador quando eles não são óbvios.
5.1 Evento complementar
P(Ā) = 1 − P(A)
Onde Ā é o evento "A não acontece". Vale muito a pena lembrar disso: quando a questão pede "pelo menos um", quase sempre é mais rápido calcular a probabilidade de nenhum e subtrair de 1.
5.2 União de eventos
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Subtrai-se a interseção porque ela foi contada duas vezes. Quando os eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos), a interseção é vazia e a fórmula vira uma soma simples.
Exemplo. Numa turma de 30 alunos, 10 jogam futebol, 8 nadam e 3 fazem as duas coisas. Quantos praticam pelo menos um esporte?
n(F ∪ N) = 10 + 8 − 3 = 15
E a probabilidade de um aluno sorteado praticar ao menos um é 15/30 = 1/2.
5.3 Interseção e independência
Para eventos independentes — aqueles em que um não afeta o outro:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Dois lançamentos de dado são independentes; tirar duas cartas sem reposição, não — a primeira muda o que sobra para a segunda.
Probabilidade condicional e Bayes
A probabilidade condicional P(A|B) é a probabilidade de A acontecer sabendo que B aconteceu:
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
Dessa definição sai o teorema de Bayes, que inverte a condição:
P(A|B) = [P(B|A) · P(A)] ÷ P(B)
E o denominador costuma ser calculado pela probabilidade total:
P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|Ā) · P(Ā)
6.1 Exemplo resolvido: o teste que engana
Um teste para uma doença acerta 99% das vezes: se a pessoa tem a doença, dá positivo em 99% dos casos; se não tem, dá positivo em apenas 1%. A doença afeta 1% da população. Uma pessoa testou positivo — qual a probabilidade de ela realmente estar doente?
Os dados são P(D) = 0,01, P(T|D) = 0,99, P(T|D̄) = 0,01 e P(D̄) = 0,99.
Primeiro, a probabilidade de testar positivo de qualquer maneira:
P(T) = 0,99 · 0,01 + 0,01 · 0,99 = 0,0099 + 0,0099 = 0,0198
Agora Bayes:
P(D|T) = (0,99 · 0,01) ÷ 0,0198 = 0,0099 ÷ 0,0198 = 0,5
Por que o resultado surpreende
Mesmo com um teste 99% preciso, um positivo significa apenas 50% de chance de estar doente. O motivo é que a doença é rara: os 99% de saudáveis são tantos que o 1% deles que dá falso positivo iguala, em número absoluto, os doentes detectados corretamente.
É o erro de raciocínio mais comum em probabilidade — ignorar a prevalência.
Exercícios
Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra BANANA?
Uma pessoa tem 4 camisas, 3 calças e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir, escolhendo uma peça de cada?
De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem se sentar em uma fila?
Numa urna há 5 bolas vermelhas e 4 azuis. Retirando 3 bolas, quantas maneiras existem de escolher 2 vermelhas e 1 azul?
Lançando dois dados honestos, qual a probabilidade de a soma ser 7?
Numa classe de 30 alunos, 10 praticam futebol e 8 praticam natação, sendo que 3 praticam os dois. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar pelo menos um desses esportes?
Quantos números de 4 dígitos distintos podem ser formados com os algarismos de 0 a 9?
Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando 3 bolas ao acaso, qual a probabilidade de a soma dos números ser maior que 15?
Numa PA de 5 termos, a soma dos 3 primeiros é 18 e a soma dos 3 últimos é 48. Qual é a razão?
Um controle de qualidade detecta produtos defeituosos com precisão de 95%, e 3% dos produtos são defeituosos. Se um produto foi classificado como defeituoso, qual a probabilidade de ele realmente estar defeituoso?
Quantas maneiras diferentes existem de organizar as letras da palavra MATEMÁTICA?
Numa sala com 12 pessoas, 5 serão escolhidas para formar uma equipe. De quantas maneiras isso pode ser feito?
Quantos números de 5 dígitos podem ser formados com os algarismos de 0 a 9, se os dígitos podem se repetir?
Qual a probabilidade de tirar um número ímpar no lançamento de um dado de 6 faces?
Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras?
De quantas maneiras se pode formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres, escolhidos de um grupo de 6 homens e 4 mulheres?
Numa classe de 25 alunos, de quantas maneiras se pode escolher um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro?
Numa competição de 10 atletas, de quantas maneiras podem ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?
De quantas maneiras 12 bolas idênticas podem ser distribuídas em 3 caixas?
Quantas maneiras existem de escolher 3 bolas vermelhas de uma urna contendo 6 vermelhas e 4 azuis?
Num baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de retirar uma figura (valete, dama ou rei)?
De quantas maneiras se pode permutar as letras da palavra CIRCULAR?
Quantos subconjuntos de 3 elementos podem ser formados a partir do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
De quantas maneiras se pode arranjar 5 livros numa prateleira?
Numa urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10, de quantas maneiras se pode retirar 4 bolas, sem que a ordem importe?
Numa urna com 15 bolas numeradas de 1 a 15, de quantas maneiras se pode retirar 5 bolas, se todas devem ser ímpares?
Qual a probabilidade de tirar um múltiplo de 3 no lançamento de um dado de 6 faces?
Um casal tem 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 meninas e 1 menino?
Qual a probabilidade de a soma obtida em dois lançamentos de dados ser menor ou igual a 5?
Um teste para uma doença tem precisão de 98%, e 2% da população tem a doença. Qual a probabilidade de que uma pessoa que testou positivo realmente tenha a doença?