Funções e conjuntos

Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de elementos. É a linguagem básica sobre a qual tudo em funções é escrito — domínio e imagem são conjuntos.

As operações que aparecem em prova:

Para contar elementos de uma união sem repetir quem está nos dois:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Onde n(A) é a quantidade de elementos de A. Subtrair a interseção é o que impede a contagem dupla — é a base de quase toda questão de diagrama de Venn.

1.1 Os conjuntos numéricos

• ℕ — naturais: 0, 1, 2, 3, …
• ℤ — inteiros: … −2, −1, 0, 1, 2, …
• ℚ — racionais: tudo que se escreve como fração de inteiros (inclui as dízimas periódicas)
• 𝕀 — irracionais: √2, π, e — não são fração de inteiros
• ℝ — reais: a união dos racionais com os irracionais

Cada um está contido no seguinte: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

O que é uma função

Uma função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto de partida a um único elemento de um conjunto de chegada.

As duas palavras em negrito são a definição inteira, e cada uma barra um caso:

• se algum elemento da partida não tem correspondente, não é função;
• se algum elemento da partida tem dois correspondentes, também não é.

A notação usual é f(x), lida "f de x", onde x é a variável independente (a entrada, que você escolhe) e f(x) é a variável dependente (a saída).

Exemplo. Para f(x) = 3x² − 2x + 1, calcular f(2) é só substituir:

f(2) = 3 · 4 − 2 · 2 + 1 = 12 − 4 + 1 = 9

Domínio e imagem

• Domínio — o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No gráfico, são os valores cobertos no eixo horizontal.
• Imagem — o conjunto de todos os valores que f(x) realmente assume. No gráfico, são os valores atingidos no eixo vertical.

Na prática, achar o domínio é procurar o que não pode acontecer. Duas proibições respondem quase tudo:

A imagem costuma dar mais trabalho, porque depende do comportamento da função. Em f(x) = 1/x, por exemplo, a imagem é ℝ − {0}: por maior que x fique, 1/x chega perto de zero mas nunca chega a zero.

Injetora, sobrejetora e bijetora

• Injetora — elementos diferentes do domínio vão para imagens diferentes. Ou seja, se f(x₁) = f(x₂), então x₁ = x₂. No gráfico: nenhuma reta horizontal corta a curva em mais de um ponto.
• Sobrejetora — todo elemento do contradomínio é atingido. A imagem coincide com o contradomínio.
• Bijetora — as duas coisas ao mesmo tempo.

Isso importa por um motivo prático: só função bijetora tem inversa que também é função.

Função do 1º grau

f(x) = ax + b, com a ≠ 0

• a — o coeficiente angular, que dá a inclinação da reta;
• b — o coeficiente linear, que é onde a reta corta o eixo y.

O gráfico é sempre uma reta. O sinal de a decide tudo: a > 0 dá função crescente, a < 0 dá decrescente. Se a = 0 não é função do 1º grau, e sim uma constante.

As interseções com os eixos:

• com o eixo y: no ponto (0, b);
• com o eixo x: fazendo f(x) = 0, o que dá a raiz x = −b/a.

5.1 Exemplo resolvido

Uma empresa vende um produto por R$ 50,00. O custo é R$ 30,00 por unidade mais R$ 500,00 fixos. Qual a função lucro, e a partir de quantas unidades ela começa a lucrar?

R(x) = 50x · C(x) = 30x + 500

L(x) = R(x) − C(x) = 50x − 30x − 500 = 20x − 500

O ponto de equilíbrio é onde o lucro zera:

20x − 500 = 0 ⟹ x = 25 unidades

Abaixo de 25 há prejuízo; acima, lucro.

Função do 2º grau

f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0

O gráfico é uma parábola. O coeficiente a manda na concavidade: a > 0 abre para cima (e o vértice é ponto de mínimo), a < 0 abre para baixo (vértice é máximo). O c é onde a parábola corta o eixo y.

6.1 Raízes e discriminante

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, com Δ = b² − 4ac

Δ > 0 dá duas raízes distintas; Δ = 0 dá uma raiz dupla (a parábola tangencia o eixo); Δ < 0 não dá raiz real (a parábola não toca o eixo x).

6.2 Vértice

x_v = −b ÷ 2a · y_v = f(x_v)

O vértice é o ponto de máximo ou mínimo, e é o que responde toda questão do tipo "qual a altura máxima", "qual a receita máxima", "em que instante". A imagem da função sai dele: com a > 0, a imagem é y ≥ y_v.

Repare no atalho: o x do vértice é sempre o ponto médio entre as raízes, quando elas existem. Achou as raízes, achou o vértice sem usar fórmula.

6.3 Exemplo resolvido

Um objeto é lançado e sua altura, em metros, é h(t) = −5t² + 20t + 15, com t em segundos. Qual a altura máxima, e quando ele volta ao solo?

Como a = −5 < 0, a parábola abre para baixo e o vértice é o máximo:

t_v = −20 ÷ (2 · (−5)) = 2 s

h(2) = −5 · 4 + 40 + 15 = 35 m

Volta ao solo quando h = 0:

Δ = 400 − 4 · (−5) · 15 = 400 + 300 = 700

t = (−20 ± 10√7) ÷ (−10) = 2 ∓ √7

As raízes são 2 − √7 ≈ −0,65 e 2 + √7 ≈ 4,65 s. A negativa é descartada: não existe tempo antes do lançamento.

Função exponencial

f(x) = a · b^x, com b > 0 e b ≠ 1

Aqui a é o valor inicial (o valor em x = 0) e b é a base, que decide o comportamento:

• b > 1 — crescimento exponencial: população, juros compostos;
• 0 < b < 1 — decaimento exponencial: material radioativo, resfriamento.

Duas propriedades que caem sempre:

• o gráfico sempre corta o eixo y em f(0) = a, porque b⁰ = 1;
• o eixo x é uma assíntota horizontal: a curva chega arbitrariamente perto de zero, mas nunca toca.

Modelos típicos: juros compostos C(t) = C₀(1 + i)^t; e meia-vida Q(t) = Q₀ · (1/2)^t/T, onde T é o tempo que leva para a quantidade cair pela metade.

Logaritmo e equações exponenciais

O logaritmo é a operação inversa da exponencial. Ele responde à pergunta "a que expoente preciso elevar a base para chegar neste número?":

log_b(y) = x ⟺ b^x = y

Com b > 0, b ≠ 1 e y > 0.

8.1 Quando dá para igualar as bases

Se os dois lados podem virar potências da mesma base, não precisa de logaritmo — basta igualar os expoentes:

2^x = 8 = 2³ ⟹ x = 3

Esse é sempre o primeiro caminho a tentar.

8.2 Quando não dá

Em 2^x = 10, o 10 não é potência de 2. Aí entra o logaritmo:

x = log₂(10)

E como a calculadora costuma ter só log decimal, usa-se a mudança de base:

log_b(y) = log(y) ÷ log(b)

x = log(10) ÷ log(2) = 1 ÷ 0,3010 ≈ 3,32

8.3 Exemplo resolvido

Em quantos anos um investimento de R$ 1.000,00 dobra, a 5% ao ano de juros compostos?

1000 · 1,05^t = 2000 ⟹ 1,05^t = 2

t = log(2) ÷ log(1,05) ≈ 0,3010 ÷ 0,0212 ≈ 14,2 anos

Repare que a resposta não depende do valor investido: qualquer quantia a 5% ao ano dobra no mesmo tempo.

O que mais cai

• Zeros da função — onde f(x) = 0, ou seja, onde o gráfico corta o eixo x.
• Interseção com o eixo y — é sempre f(0), e sai de graça.
• Crescimento e decrescimento — na reta, o sinal de a; na parábola, muda no vértice.
• Máximo e mínimo — na função do 2º grau, é sempre o vértice. Função do 1º grau não tem máximo nem mínimo: ela cresce ou decresce para sempre.

Exercícios

Domínio e imagem

1. Dada f(x) = √(x − 3), determine o domínio e a imagem.

2. Considere g(x) = (2x + 1) ÷ (x − 4). Determine o domínio e a imagem.

Funções do 1º grau

1. Encontre a raiz de f(x) = 5x − 15 e identifique os pontos de interseção com os eixos x e y.

2. Uma empresa vende um produto por R$ 50,00 cada. O custo de produção é R$ 30,00 por unidade mais um custo fixo de R$ 500,00. Escreva a função lucro L(x) e determine o ponto de equilíbrio.

3. Considere f(x) = −2x + 4. Dê a inclinação, diga se é crescente ou decrescente e determine x quando f(x) = 0.

4. Um estacionamento cobra taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 3,00 por hora. Escreva C(t), calcule o custo de 6 horas e o tempo máximo possível com R$ 20,00.

5. Seja f(x) = 3x + k. Determine k para que o gráfico passe pelo ponto (2, 7).

Funções do 2º grau

1. Encontre as raízes de f(x) = x² − 6x + 8, determine o vértice e diga se é máximo ou mínimo.

2. A altura de uma bola é h(t) = −4,9t² + 14,7t + 2, com t em segundos. Qual a altura máxima e quando ocorre? Em que momento a bola atinge o solo?

3. Considere f(x) = 2x² − 8x + 6. Determine domínio, imagem, raízes e vértice.

4. A receita de uma empresa é R(x) = −5x² + 200x, com x em unidades vendidas. Quantas unidades maximizam a receita, e qual é a receita máxima?

5. A área de um campo retangular em função da largura x é A(x) = x(100 − 2x). Determine a largura x e o comprimento y que tornam a área máxima, e essa área.

6. Encontre a, b e c na função f(x) = ax² + bx + c sabendo que a parábola passa por (1, 2), (2, 5) e (3, 10).

Funções exponenciais

1. Considere f(x) = 3 · 2^x. Encontre x para que f(x) = 24.

2. A população de uma bactéria triplica a cada hora. Se a população inicial é 1 000, escreva a função que modela o crescimento e determine a população após 5 horas.

3. Um capital de R$ 10.000,00 é investido a juros compostos de 8% ao ano. Escreva C(t) e calcule o valor após 10 anos.

4. Uma substância radioativa tem meia-vida de 3 anos. Se a quantidade inicial é 80 g, escreva Q(t) e determine quanto resta após 9 anos.

5. O número de casos de uma doença cresce segundo N(t) = 200 · e^0,5t, com t em dias. Quantos dias até atingir 2 000 casos? Use logaritmos.

Interpretação de texto

1. Uma fábrica tem custo diário C(x) = 50x + 3 000 e receita diária R(x) = 70x. Escreva a função lucro, determine o ponto de equilíbrio e discuta se existe um lucro máximo.

2. A população de peixes num lago é P(t) = 5 000 · (1/2)^t/3, com t em anos. Quanto tempo até a população cair para 625?