Funções e conjuntos

Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de elementos. É a linguagem básica sobre a qual tudo em funções é escrito — domínio e imagem são conjuntos.

As operações que aparecem em prova:

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto — inclusive nele mesmo. E o complementar só faz sentido quando o universo está declarado: o complementar dos pares é diferente dentro dos naturais e dentro dos reais.

Para contar elementos de uma união sem repetir quem está nos dois:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Onde n(A) é a quantidade de elementos de A. Subtrair a interseção é o que impede a contagem dupla — é a base de quase toda questão de diagrama de Venn.

O erro mais comum aqui é confundir "estuda inglês" com "estuda só inglês". Se 25 estudam inglês e 8 estudam os dois idiomas, então só inglês são 25 − 8 = 17. Quem soma 25 + 18 direto conta os 8 duas vezes.

1.1 Os conjuntos numéricos

• ℕ — naturais: 0, 1, 2, 3, …
• ℤ — inteiros: … −2, −1, 0, 1, 2, …
• ℚ — racionais: tudo que se escreve como fração de inteiros (inclui as dízimas periódicas)
• 𝕀 — irracionais: √2, π, e — não são fração de inteiros
• ℝ — reais: a união dos racionais com os irracionais

Cada um está contido no seguinte: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Cuidado com a raiz: √2 é irracional, mas √9 = 3 é natural. O símbolo de raiz não torna o número irracional — o que conta é o valor.

O que é uma função

Uma função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto de partida a um único elemento de um conjunto de chegada.

As duas palavras em negrito são a definição inteira, e cada uma barra um caso:

• se algum elemento da partida não tem correspondente, não é função;
• se algum elemento da partida tem dois correspondentes, também não é.

Os dois conjuntos têm nome: o de partida é o domínio, e o de chegada é o contradomínio. Guarde esse segundo nome — ele é o que separa sobrejetora de não sobrejetora, mais adiante.

A notação usual é f(x), lida "f de x", onde x é a variável independente (a entrada, que você escolhe) e f(x) é a variável dependente (a saída).

Exemplo. Para f(x) = 3x² − 2x + 1, calcular f(2) é só substituir:

f(2) = 3 · 4 − 2 · 2 + 1 = 12 − 4 + 1 = 9

Domínio e imagem

• Domínio — o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No gráfico, são os valores cobertos no eixo horizontal.
• Imagem — o conjunto de todos os valores que f(x) realmente assume. No gráfico, são os valores atingidos no eixo vertical.

Repare que imagem e contradomínio não são a mesma coisa: o contradomínio é onde a função pode chegar, a imagem é onde ela chega de fato. A imagem está sempre contida no contradomínio.

Na prática, achar o domínio é procurar o que não pode acontecer. Três proibições respondem quase tudo:

Quando a função tem mais de uma dessas estruturas, as restrições valem ao mesmo tempo: o domínio é a interseção delas, não a união. Em log(x − 2) + 1/(x − 5) é preciso x > 2 e x ≠ 5.

A imagem costuma dar mais trabalho, porque depende do comportamento da função. Em f(x) = 1/x, por exemplo, a imagem é ℝ − {0}: por maior que x fique, 1/x chega perto de zero mas nunca chega a zero.

Injetora, sobrejetora e bijetora

• Injetora — elementos diferentes do domínio vão para imagens diferentes. Ou seja, se f(x₁) = f(x₂), então x₁ = x₂. No gráfico: nenhuma reta horizontal corta a curva em mais de um ponto.
• Sobrejetora — todo elemento do contradomínio é atingido. A imagem coincide com o contradomínio.
• Bijetora — as duas coisas ao mesmo tempo.

Um exemplo resolve as três de uma vez. Tome f: ℝ → ℝ com f(x) = x²:

• não é injetora, porque f(−3) = f(3) = 9: dois valores diferentes de x com a mesma saída;
• não é sobrejetora, porque a imagem é [0, +∞) e nenhum x real dá f(x) = −4;
• logo, não é bijetora.

Mas classificação depende dos conjuntos declarados, não só da fórmula. A mesma expressão x², agora como f: [0, +∞) → [0, +∞), é bijetora: cortando fora os negativos some a repetição, e restringindo o contradomínio à imagem some o que não era atingido. Questão que muda o domínio sem mudar a fórmula está cobrando exatamente isso.

Isso importa por um motivo prático: só função bijetora tem inversa que também é função. A inversa, escrita f⁻¹, desfaz o que a função fez — se f(2) = 5, então f⁻¹(5) = 2. Note o expoente −1 na notação: ele não quer dizer 1 ÷ f(x). São coisas diferentes, e trocar uma pela outra é erro clássico.

Função do 1º grau

f(x) = ax + b, com a ≠ 0

• a — o coeficiente angular, que dá a inclinação da reta;
• b — o coeficiente linear, que é onde a reta corta o eixo y.

O gráfico é sempre uma reta. O sinal de a decide tudo: a > 0 dá função crescente, a < 0 dá decrescente. Se a = 0 não é função do 1º grau, e sim uma constante.

As interseções com os eixos:

• com o eixo y: no ponto (0, b);
• com o eixo x: fazendo f(x) = 0, o que dá a raiz x = −b/a.

5.1 Exemplo resolvido

Uma oficina vende um serviço por R$ 80,00. O custo é R$ 50,00 por serviço prestado mais R$ 900,00 fixos por mês. Qual a função lucro, e a partir de quantos serviços ela começa a lucrar?

R(x) = 80x · C(x) = 50x + 900

L(x) = R(x) − C(x) = 80x − 50x − 900 = 30x − 900

O ponto de equilíbrio é onde o lucro zera:

30x − 900 = 0 ⟹ x = 30 serviços

Abaixo de 30 há prejuízo; acima, lucro. Repare que o custo fixo entra uma vez só, no b — não multiplica por x. Somar o fixo à parcela variável é o erro que mais aparece nesse tipo de questão.

Função do 2º grau

f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0

O gráfico é uma parábola. O coeficiente a manda na concavidade: a > 0 abre para cima (e o vértice é ponto de mínimo), a < 0 abre para baixo (vértice é máximo). O c é onde a parábola corta o eixo y.

6.1 Raízes e discriminante

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, com Δ = b² − 4ac

Δ > 0 dá duas raízes distintas; Δ = 0 dá uma raiz dupla (a parábola tangencia o eixo); Δ < 0 não dá raiz real (a parábola não toca o eixo x).

No cálculo de Δ, o erro campeão é o sinal: em c negativo, −4ac vira mais. Com a = 1, b = 2 e c = −8, Δ = 4 − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36, não 4 − 32.

6.2 Vértice

x_v = −b ÷ 2a · y_v = f(x_v) = −Δ ÷ 4a

Onde:

• x_v — a abscissa do vértice, na unidade da variável de entrada;
• y_v — o valor máximo ou mínimo da função, na unidade da saída;
• Δ — o discriminante, b² − 4ac.

As duas expressões de y_v dão o mesmo número. Substituir x_v na função é mais seguro; −Δ ÷ 4a é mais rápido quando você já calculou o Δ para achar as raízes.

O vértice é o que responde toda questão do tipo "qual a altura máxima", "qual a receita máxima", "em que instante". A imagem da função sai dele: com a > 0, a imagem é y ≥ y_v; com a < 0, é y ≤ y_v.

Repare no atalho: o x do vértice é sempre o ponto médio entre as raízes, quando elas existem. Achou as raízes, achou o vértice sem usar fórmula.

6.3 Exemplo resolvido

Um objeto é lançado e sua altura, em metros, é h(t) = −5t² + 20t + 15, com t em segundos. Qual a altura máxima, e quando ele volta ao solo?

Como a = −5 < 0, a parábola abre para baixo e o vértice é o máximo:

t_v = −20 ÷ (2 · (−5)) = 2 s

h(2) = −5 · 4 + 40 + 15 = 35 m

Volta ao solo quando h = 0:

Δ = 400 − 4 · (−5) · 15 = 400 + 300 = 700

t = (−20 ± 10√7) ÷ (−10) = 2 ∓ √7

As raízes são 2 − √7 ≈ −0,65 e 2 + √7 ≈ 4,65 s. A negativa é descartada: não existe tempo antes do lançamento.

Função exponencial

f(x) = a · b^x, com b > 0 e b ≠ 1

• a — o valor inicial, isto é, f(0);
• b — a base, um número positivo diferente de 1;
• x — o expoente, que é a variável.

O que caracteriza a exponencial é a variável estar no expoente. Em x² a base varia e o expoente é fixo; em 2^x é o contrário — e o comportamento das duas não tem nada a ver.

A base decide o comportamento:

• b > 1 — crescimento exponencial: população, juros compostos;
• 0 < b < 1 — decaimento exponencial: material radioativo, resfriamento.

7.1 O gráfico e o que ele mostra

Três leituras saem direto do gráfico:

• o gráfico sempre corta o eixo y em f(0) = a, porque b⁰ = 1 — qualquer que seja a base;
• o domínio é ℝ: expoente negativo, zero ou fracionário é permitido;
• a imagem é (0, +∞) quando a > 0 — a curva vive inteira acima do eixo. Exponencial nunca zera e nunca fica negativa.

7.2 Os dois modelos que mais caem

Juros compostos:

C(t) = C₀ · (1 + i)^t

• C₀ — o capital inicial, em reais (R$);
• i — a taxa por período, em forma decimal (8% ao ano é 0,08);
• t — o número de períodos, na unidade da taxa.

Meia-vida:

Q(t) = Q₀ · (½)^t/T

• Q₀ — a quantidade inicial, em gramas (g) ou na unidade do problema;
• T — a meia-vida, o tempo que leva para a quantidade cair pela metade, em anos, dias ou segundos;
• t — o tempo decorrido, na mesma unidade de T.

O atalho da meia-vida: se t é múltiplo de T, nem precisa de fórmula — basta dividir por 2 tantas vezes quantas forem as meias-vidas. Em 9 anos com meia-vida de 3 anos são três divisões por 2, ou seja, sobra 1/8 do inicial.

Logaritmo e equações exponenciais

O logaritmo é a operação inversa da exponencial. Ele responde à pergunta "a que expoente preciso elevar a base para chegar neste número?":

log_b(y) = x ⟺ b^x = y

Com b > 0, b ≠ 1 e y > 0. Essa última condição é a mesma restrição de domínio da seção 3: como b^x é sempre positivo, não existe logaritmo de número negativo nem de zero.

8.1 Quando dá para igualar as bases

Se os dois lados podem virar potências da mesma base, não precisa de logaritmo — basta igualar os expoentes:

2^x = 8 = 2³ ⟹ x = 3

Esse é sempre o primeiro caminho a tentar.

8.2 Quando não dá

Em 2^x = 10, o 10 não é potência de 2. Aí entra o logaritmo:

x = log₂(10)

E como a calculadora costuma ter só log decimal, usa-se a mudança de base:

log_b(y) = log(y) ÷ log(b)

x = log(10) ÷ log(2) = 1 ÷ 0,3010 ≈ 3,32

Repare que é divisão de logaritmos, não subtração. E log(y) ÷ log(b) não é log(y ÷ b) — são coisas diferentes.

8.3 Exemplo resolvido

Em quantos anos um investimento de R$ 1.000,00 dobra, a 5% ao ano de juros compostos?

1000 · 1,05^t = 2000 ⟹ 1,05^t = 2

t = log(2) ÷ log(1,05) ≈ 0,3010 ÷ 0,0212 ≈ 14,2 anos

Repare que a resposta não depende do valor investido: qualquer quantia a 5% ao ano dobra no mesmo tempo.

O que mais cai

• Zeros da função — onde f(x) = 0, ou seja, onde o gráfico corta o eixo x.
• Interseção com o eixo y — é sempre f(0), e sai de graça.
• Crescimento e decrescimento — na reta, o sinal de a; na parábola, muda no vértice; na exponencial, o valor da base.
• Máximo e mínimo — na função do 2º grau, é sempre o vértice. Função do 1º grau não tem máximo nem mínimo: ela cresce ou decresce para sempre. Exponencial também não tem.
• Domínio — procure denominador, raiz de índice par e logaritmando, nessa ordem. Se não houver nenhum dos três, o domínio é ℝ.

Exercícios

Conjuntos

1. Numa turma de 40 alunos, 25 estudam inglês, 18 estudam espanhol e 8 estudam os dois idiomas. Quantos alunos estudam apenas inglês, quantos estudam apenas espanhol e quantos não estudam nenhum dos dois?

2. Dados A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, determine A ∪ B, A ∩ B, A − B e B − A. Em seguida, diga a quais conjuntos numéricos pertence o número √9.

Domínio, imagem e classificação

1. Dada f(x) = √(x − 3), determine o domínio e a imagem.

2. Considere g(x) = (2x + 1) ÷ (x − 4). Determine o domínio e a imagem.

3. Determine o domínio de h(x) = log(x − 2) + 1 ÷ (x − 5).

4. Considere f: ℝ → ℝ dada por f(x) = x². Ela é injetora? Sobrejetora? Bijetora? Justifique cada resposta e diga o que precisa mudar para que ela se torne bijetora.

Funções do 1º grau

1. Encontre a raiz de f(x) = 5x − 15 e identifique os pontos de interseção com os eixos x e y.

2. Uma empresa vende um produto por R$ 50,00 cada. O custo de produção é R$ 30,00 por unidade mais um custo fixo de R$ 500,00. Escreva a função lucro L(x) e determine o ponto de equilíbrio.

3. Considere f(x) = −2x + 4. Dê a inclinação, diga se é crescente ou decrescente e determine x quando f(x) = 0.

4. Um estacionamento cobra taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 3,00 por hora. Escreva C(t), calcule o custo de 6 horas e o tempo máximo possível com R$ 20,00.

5. Seja f(x) = 3x + k. Determine k para que o gráfico passe pelo ponto (2, 7).

Funções do 2º grau

1. Encontre as raízes de f(x) = x² − 6x + 8, determine o vértice e diga se é máximo ou mínimo.

2. A altura de uma bola lançada para cima é h(t) = −5t² + 13t + 6, com t em segundos e h em metros. Qual a altura máxima e quando ela ocorre? Em que instante a bola atinge o solo?

3. Considere f(x) = 2x² − 8x + 6. Determine domínio, imagem, raízes e vértice.

4. A receita de uma empresa é R(x) = −5x² + 200x, com x em unidades vendidas. Quantas unidades maximizam a receita, e qual é a receita máxima?

5. A área de um campo retangular em função da largura x é A(x) = x(100 − 2x). Determine a largura x e o comprimento y que tornam a área máxima, e essa área.

6. Encontre a, b e c na função f(x) = ax² + bx + c sabendo que a parábola passa por (1, 2), (2, 5) e (3, 10).

Funções exponenciais

1. Considere f(x) = 3 · 2^x. Encontre x para que f(x) = 24.

2. A população de uma bactéria triplica a cada hora. Se a população inicial é 1 000, escreva a função que modela o crescimento e determine a população após 5 horas.

3. Um capital de R$ 10.000,00 é investido a juros compostos de 8% ao ano. Escreva C(t) e calcule o valor após 10 anos. Use 1,08¹⁰ ≈ 2,1589.

4. Uma substância radioativa tem meia-vida de 3 anos. Se a quantidade inicial é 80 g, escreva Q(t) e determine quanto resta após 9 anos.

5. O número de casos de uma doença cresce segundo N(t) = 200 · 1,5^t, com t em dias. Quantos dias até atingir 1 000 casos? Use log 1,5 = 0,176 e log 5 = 0,70.

Interpretação de texto

1. Uma fábrica tem custo diário C(x) = 50x + 3 000 e receita diária R(x) = 70x. Escreva a função lucro, determine o ponto de equilíbrio e discuta se existe um lucro máximo.

2. A população de peixes num lago é P(t) = 5 000 · (1/2)^t/3, com t em anos. Quanto tempo até a população cair para 625?