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Progressões: PA e PG

Progressões aritméticas e geométricas: termo geral, soma dos termos e a soma infinita da PG.

Autor: Rafael Souza Leitura: 9 min Atualizado em: 2026-09
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Objetivos da aula

  • Distinguir uma PA de uma PG pelo que se repete entre termos consecutivos.
  • Aplicar as fórmulas do termo geral das duas.
  • Somar os n primeiros termos de uma PA e de uma PG.
  • Calcular a soma infinita de uma PG e saber quando ela existe.

Duas formas de crescer

Uma sequência é uma lista ordenada de números. As duas sequências mais cobradas em vestibular são aquelas em que o padrão de um termo para o seguinte é sempre o mesmo — e a diferença entre elas está em qual operação se repete.

  • Numa PA, você soma sempre a mesma quantidade.
  • Numa PG, você multiplica sempre pela mesma quantidade.

A pergunta que identifica qual é qual: entre dois termos vizinhos, o que se mantém — a diferença ou o quociente?

Progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre cada termo e o anterior é constante. Essa constante é a razão, indicada por r.

A sequência 2, 5, 8, 11, … é uma PA de razão r = 3.

O sinal da razão diz o comportamento: r > 0 dá uma PA crescente, r < 0 uma PA decrescente, e r = 0 uma PA constante.

2.1 Termo geral

an = a1 + (n − 1) · r

  • an — o termo que ocupa a posição n;
  • a1 — o primeiro termo;
  • r — a razão;
  • n — a posição do termo na sequência.

O (n − 1) é o detalhe que derruba gente: para chegar ao termo de posição n você dá n − 1 passos a partir do primeiro, não n.

Exemplo. Na PA 3, 7, 11, 15, … temos a1 = 3 e r = 4:

an = 3 + (n − 1) · 4 = 4n − 1

E o décimo termo é a10 = 4 · 10 − 1 = 39.

2.2 Soma dos n primeiros termos

Sn = n · (a1 + an) ÷ 2

Onde Sn é a soma dos n primeiros termos. A fórmula é a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pela quantidade de termos.

Quando você não conhece an, substitua pelo termo geral:

Sn = n · [2a1 + (n − 1) · r] ÷ 2

Exemplo. A soma dos 5 primeiros termos da PA 2, 6, 10, 14, … Primeiro ache a5, que é 2 + 4 · 4 = 18 — e não 14, que é o quarto termo:

S5 = 5 · (2 + 18) ÷ 2 = 5 · 20 ÷ 2 = 50

Conferindo na mão: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50.

2.3 Propriedade do termo médio

Em três termos consecutivos de uma PA, o do meio é a média aritmética dos outros dois. Na PA 3, 7, 11, o 7 é a média entre 3 e 11, porque (3 + 11) ÷ 2 = 7.

Isso é muito útil em questões que pedem para "determinar x para que a sequência seja uma PA": basta impor que o termo do meio seja a média dos vizinhos.

Progressão geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência em que o quociente entre cada termo e o anterior é constante. Essa constante é a razão, indicada por q.

A sequência 3, 6, 12, 24, … é uma PG de razão q = 2.

3.1 Termo geral

an = a1 · qn−1

  • an — o termo de posição n;
  • a1 — o primeiro termo;
  • q — a razão;
  • n — a posição do termo.

De novo o expoente é n − 1, pela mesma razão de antes.

Exemplo. Na PG 2, 4, 8, 16, … temos a1 = 2 e q = 2:

an = 2 · 2n−1 = 2n

E o sétimo termo é a7 = 27 = 128.

3.2 Soma dos n primeiros termos

Sn = a1 · (qn − 1) ÷ (q − 1), com q ≠ 1

A restrição q ≠ 1 existe porque o denominador zeraria. Se q = 1, todos os termos são iguais e a soma é simplesmente n · a1.

Exemplo. A soma dos 4 primeiros termos da PG 3, 6, 12, 24:

S4 = 3 · (24 − 1) ÷ (2 − 1) = 3 · 15 = 45

A soma infinita de uma PG

Somar infinitos números e obter um resultado finito parece impossível — mas acontece quando os termos encolhem rápido o bastante.

Quando a soma infinita existe

A soma dos infinitos termos de uma PG só converge se |q| < 1, ou seja, se a razão estiver estritamente entre −1 e 1. Nesse caso:

S∞ = a1 ÷ (1 − q)

Se |q| ≥ 1, os termos não diminuem e a soma cresce sem limite — não existe.

Exemplo. Para a PG 1, 1/2, 1/4, 1/8, … temos a1 = 1 e q = 1/2:

S∞ = 1 ÷ (1 − 1/2) = 1 ÷ (1/2) = 2

Por mais termos que você some, o total nunca passa de 2 — só chega cada vez mais perto. É esse raciocínio que transforma uma dízima periódica em fração: 0,333… é a soma da PG 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …, que dá (3/10) ÷ (1 − 1/10) = 1/3.

Problemas clássicos

5.1 Descobrir o número de termos

Uma PA tem primeiro termo 3 e razão 2. Quantos termos são necessários para que a soma valha 224?

Com a1 = 3 e r = 2, o termo geral é an = 3 + (n − 1)·2 = 2n + 1. Aplicando a soma:

224 = n · (3 + 2n + 1) ÷ 2 = n · (2n + 4) ÷ 2 = n · (n + 2)

n2 + 2n − 224 = 0

Δ = 4 + 896 = 900, e √900 = 30:

n = (−2 + 30) ÷ 2 = 14

A raiz negativa é descartada — número de termos não pode ser negativo. Conferindo: a14 = 29 e S14 = 14 · (3 + 29) ÷ 2 = 224.

Um sinal de que algo está errado

Nesse tipo de questão, n tem que dar um inteiro positivo. Se o discriminante não for quadrado perfeito, ou o enunciado tem dado inconsistente, ou você errou uma conta. Vale conferir antes de arredondar.

5.2 Soma de uma PG grande

Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG 5, 15, 45, …

Aqui a1 = 5 e q = 3:

S10 = 5 · (310 − 1) ÷ (3 − 1) = 5 · (59 049 − 1) ÷ 2

S10 = 5 · 59 048 ÷ 2 = 147 620

PA e PG lado a lado

PAPG
O que se repetea diferença (r)o quociente (q)
Termo gerala1 + (n−1)ra1 · qn−1
Soma dos nn(a1 + an) ÷ 2a1(qn − 1) ÷ (q − 1)
Termo do meiomédia aritméticamédia geométrica
Soma infinitanão existe (exceto r = 0)existe se |q| < 1

Exercícios

Fáceis

  1. Dada a PA 3, 7, 11, 15, …, determine o 10º termo.

  2. Dada a PG 2, 6, 18, 54, …, encontre o 6º termo.

  3. Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PA 4, 8, 12, 16, …

  4. Determine a1 e r de uma PA cujo 3º termo é 12 e cujo 6º termo é 24.

  5. Encontre a soma dos 4 primeiros termos da PG 5, 10, 20, 40, …

Médios

  1. Encontre o número de termos de uma PA cuja soma é 343, sendo o primeiro termo 5 e a razão 3.

  2. Determine a soma dos 6 primeiros termos de uma PG com a1 = 3 e q = 2.

  3. Numa PA, o 7º termo é 35 e o 10º termo é 50. Encontre o primeiro termo e a razão.

  4. Uma empresa investiu R$ 1.000,00 no primeiro mês, R$ 1.200,00 no segundo e assim por diante, em PA. Calcule o total investido ao final de 12 meses.

  5. Determine a soma dos 7 primeiros termos da PG 4, 12, 36, 108, …

Difíceis

  1. Determine n para que a soma dos n primeiros termos de uma PA com a1 = 2 e r = 5 seja igual a 245.

  2. Encontre a soma dos 20 primeiros termos da PG 3, 6, 12, …

  3. Calcule o 15º termo de uma PA cuja soma dos 12 primeiros termos é 234 e cuja razão é 3.

  4. Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG 16, 8, 4, 2, …, de razão q = 1/2.

  5. Numa PA de 10 termos, o primeiro termo é 3 e o último é 30. Qual é a soma dos 10 termos?

Ver gabarito

Fáceis

  1. A razão é r = 4:

    a10 = 3 + (10 − 1) · 4 = 3 + 36 = 39

  2. A razão é q = 3:

    a6 = 2 · 35 = 2 · 243 = 486

  3. Com r = 4, o quinto termo é a5 = 4 + 4 · 4 = 20:

    S5 = 5 · (4 + 20) ÷ 2 = 5 · 24 ÷ 2 = 60

  4. Das condições: a1 + 2r = 12 e a1 + 5r = 24.

    Subtraindo: 3r = 12 ⟹ r = 4.

    Substituindo: a1 = 12 − 8 = 4.

    a1 = 4 e r = 4

  5. Com a1 = 5 e q = 2:

    S4 = 5 · (24 − 1) ÷ (2 − 1) = 5 · 15 = 75

Médios

  1. Com a1 = 5 e r = 3, o termo geral é an = 5 + (n − 1)·3 = 3n + 2.

    343 = n · (5 + 3n + 2) ÷ 2 ⟹ 686 = n(3n + 7)

    3n2 + 7n − 686 = 0, com Δ = 49 + 8 232 = 8 281 = 912.

    n = (−7 + 91) ÷ 6 = 14 termos

    Conferindo: a14 = 44 e S14 = 14 · 49 ÷ 2 = 343.

  2. S6 = 3 · (26 − 1) ÷ (2 − 1) = 3 · 63 = 189

  3. a1 + 6r = 35 e a1 + 9r = 50.

    Subtraindo: 3r = 15 ⟹ r = 5, e a1 = 35 − 30 = 5.

    a1 = 5 e r = 5

  4. É uma PA com a1 = 1 000, r = 200 e n = 12.

    a12 = 1 000 + 11 · 200 = 3 200

    S12 = 12 · (1 000 + 3 200) ÷ 2 = 6 · 4 200 = R$ 25.200,00

  5. Com a1 = 4 e q = 3:

    S7 = 4 · (37 − 1) ÷ (3 − 1) = 4 · 2 186 ÷ 2 = 4 372

Difíceis

  1. Sn = n · [2·2 + (n − 1)·5] ÷ 2 = n · (5n − 1) ÷ 2

    245 = n(5n − 1) ÷ 2 ⟹ 490 = n(5n − 1)

    5n2 − n − 490 = 0, com Δ = 1 + 9 800 = 9 801 = 992.

    n = (1 + 99) ÷ 10 = 10 termos

    Conferindo: a10 = 2 + 9·5 = 47 e S10 = 10 · 49 ÷ 2 = 245.

  2. Com a1 = 3 e q = 2:

    S20 = 3 · (220 − 1) ÷ 1 = 3 · (1 048 576 − 1)

    S20 = 3 145 725

  3. 234 = 12 · [2a1 + 11 · 3] ÷ 2 = 6 · (2a1 + 33)

    234 = 12a1 + 198 ⟹ 12a1 = 36 ⟹ a1 = 3

    a15 = 3 + 14 · 3 = 45

  4. Com a1 = 16 e q = 1/2:

    S10 = 16 · [(1/2)10 − 1] ÷ (1/2 − 1)

    = 16 · (1/1024 − 1) ÷ (−1/2) = 16 · (−1023/1024) · (−2)

    S10 = 1023/32 ≈ 31,97

    Repare que o resultado se aproxima de 32, que é a soma infinita S∞ = 16 ÷ (1 − 1/2) = 32 — mas não chega lá: dez termos ainda deixam 1/32 de diferença.

  5. S10 = 10 · (3 + 30) ÷ 2 = 5 · 33 = 165

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