Equações irracionais

O que é uma equação irracional

Uma equação irracional é aquela em que a incógnita aparece dentro de um radical. É isso que a define — não o fato de a resposta ser um número irracional.

Alguns exemplos do que você vai encontrar:

• raiz quadrada simples: √(x + 2) = 5;
• raiz cúbica: ³√(x + 1) = 4;
• mais de um radical: √(x + 3) + √(x − 1) = 4;
• radicais encaixados: √(x + √(x + 1)) = 2.

Elas aparecem em geometria (distâncias e teorema de Pitágoras), em física (velocidade a partir de energia, período do pêndulo) e em qualquer modelo que envolva raiz.

O domínio: antes de resolver, olhe o que é possível

Nos números reais, não existe raiz quadrada de número negativo. Então toda expressão sob uma raiz de índice par precisa ser maior ou igual a zero. Essa é a condição de existência.

Em √(2x − 1) = x − 1, por exemplo, já se sabe de saída que 2x − 1 ≥ 0, ou seja x ≥ 1/2.

E tem uma segunda restrição, que é a que mais derruba gente: uma raiz quadrada nunca é negativa. Se a equação diz √(alguma coisa) = x − 1, então obrigatoriamente x − 1 ≥ 0. Qualquer solução que torne o lado direito negativo está descartada, por mais que satisfaça as contas.

Passo 1: isolar o radical

Leve todos os termos que não estão sob a raiz para o outro lado, deixando o radical sozinho. Sem isso, elevar ao quadrado não elimina coisa nenhuma — só cria um produto cruzado ainda pior.

De √(x + 2) + 3 = x − 1, isole primeiro:

√(x + 2) = x − 4

Se o radical estiver multiplicado por um número, divida antes:

2√(x + 3) = x + 5 ⟹ √(x + 3) = (x + 5) ÷ 2

Passo 2: elevar ao quadrado

Com o radical isolado, eleve os dois lados ao quadrado. A raiz quadrada e o quadrado se cancelam, e sobra uma equação polinomial — quase sempre do segundo grau.

√(x + 4) = 3 ⟹ x + 4 = 9 ⟹ x = 5

Atenção ao lado direito: (x − 1)² não é x² − 1. É x² − 2x + 1. Esquecer o termo do meio é o erro de conta mais comum em toda esta aula.

4.1 Quando há duas raízes

Com dois radicais, um quadrado só não resolve — sobra sempre um radical no meio. O caminho é elevar duas vezes, isolando o que sobrou entre uma elevação e outra.

Em √(x + 7) − √x = 1, isole uma das raízes:

√(x + 7) = 1 + √x

Elevando ao quadrado, o lado direito é um quadrado de binômio:

x + 7 = 1 + 2√x + x

O x se cancela dos dois lados e sobra um radical só, que se isola e se eleva ao quadrado de novo:

2√x = 6 ⟹ √x = 3 ⟹ x = 9

Verificando na equação original: √16 − √9 = 4 − 3 = 1. Confere.

Passo 3: verificar — e este passo não é opcional

Em toda outra equação, conferir é boa prática. Em equação irracional, é parte do método: uma resposta não verificada é uma resposta incompleta.

5.1 Exemplo resolvido, do começo ao fim

Resolva √(4x + 9) = 2x + 3.

Elevando ao quadrado:

4x + 9 = 4x² + 12x + 9

0 = 4x² + 8x = 4x(x + 2)

As candidatas são x = 0 e x = −2. Agora a verificação:

A resposta é apenas x = 0. A candidata −2 apareceu porque, ao elevar ao quadrado, a equação deixou de distinguir 1 de −1.

A armadilha do √(a²)

Existe um tipo de questão que parece difícil e é só uma identidade disfarçada. Ela depende de uma regra que muita gente aplica errado:

√(a²) = |a|, e não a

A raiz quadrada devolve sempre o valor não negativo. Por isso √((−5)²) = √25 = 5, e não −5.

6.1 Exemplo resolvido

Resolva √(x² + 6x + 9) = x + 3.

Repare que o que está sob a raiz é um quadrado perfeito: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Logo a equação é:

|x + 3| = x + 3

E um número é igual ao seu módulo exatamente quando ele não é negativo. A condição é x + 3 ≥ 0, ou seja:

S = {x ∈ ℝ | x ≥ −3}

A resposta não é um número: é um intervalo inteiro. Qualquer x ≥ −3 serve, e nenhum x < −3 serve. Responder só "x = −3" é perder todas as outras infinitas soluções.

Substituição: quando trocar de variável simplifica

Em equações com radicais encaixados ou com a mesma expressão repetida, trocar de variável limpa o problema.

7.1 Exemplo resolvido

Resolva x + 5 + √(x + 5) = 9.

A expressão x + 5 aparece duas vezes, uma delas sob a raiz. Chame u = √(x + 5), de modo que x + 5 = u² e u ≥ 0:

u² + u = 9 ⟹ u² + u − 9 = 0

u = (−1 ± √37) ÷ 2

Como u tem que ser não negativo, fica u = (−1 + √37)/2 ≈ 2,541. Voltando à variável original:

x = u² − 5 ≈ 6,458 − 5 = 1,458

7.2 Radicais infinitos

A mesma ideia resolve uma equação que parece impossível — aquela com infinitos radicais encaixados:

√(4x + √(4x + √(4x + …))) = 5

Chame de y o valor da expressão toda. Como ela se repete dentro de si mesma, o que está sob o primeiro radical é 4x + y:

y = √(4x + y), com y = 5

25 = 4x + 5 ⟹ x = 5

O truque é perceber que a estrutura infinita é autossemelhante: tirar uma camada não muda o que sobra.

O roteiro, em cinco passos

1. Domínio. Anote o que precisa ser não negativo sob cada raiz, e lembre-se de que o lado isolado da igualdade também não pode ser negativo.
2. Isole o radical.
3. Eleve ao quadrado os dois lados; se sobrar radical, isole e repita.
4. Resolva a equação polinomial que resultou.
5. Verifique cada candidata na equação original e descarte as estranhas.

Pular o passo 5 é o erro que mais custa ponto neste conteúdo — e é justamente o passo que o gabarito costuma cobrar.

Exercícios

Nível básico

1. Resolva: √(x + 3) = 5

2. Resolva: √(2x − 1) = x − 1

3. Resolva: √(4x + 9) = 2x + 3

4. Resolva: √(x + 2) + 1 = 3

5. Resolva: √(3x + 7) = 2x − 1

Nível intermediário

1. Resolva e verifique as soluções: √(2x + 5) = x − 1

2. Resolva: √(x + 6) = √(3x − 2)

3. Resolva: √(2x + 3) + √(x − 1) = 5

4. Resolva e determine o conjunto solução: √(4x + 16) = 2x − 2

5. Resolva: √(5x − 4) + 2 = x

Nível avançado

1. Resolva: √(x + √(x + 1)) = 2

2. Resolva: 2x + √(3x − 4) = x − 1

3. Resolva: √(x² + 6x + 9) = x + 3

4. Resolva: √(4x² − 4x + 1) = 2x − 1

5. Resolva e verifique as soluções: √(x + 3) + √(x − 1) = 4

Desafio

1. Determine todas as soluções reais de: √(x + 5 + √(x + 5)) = 3

2. Resolva e explique o procedimento: √(4x + √(4x + √(4x + …))) = 5