Sistemas lineares

O que é um sistema linear

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo pelos mesmos valores das variáveis. "Linear" quer dizer que toda variável aparece elevada à primeira potência, sem produtos entre variáveis e sem estar dentro de raiz ou denominador.

Sistemas lineares modelam qualquer situação em que grandezas se combinam de forma proporcional — preços, misturas, circuitos, dietas, fluxos — e por isso aparecem em matemática, física, engenharia e economia.

1.1 Quantas equações para quantas variáveis

A relação entre o número de equações e o de incógnitas dá uma primeira pista do que esperar:

São tendências, não garantias — duas equações idênticas contam como duas, mas informam uma coisa só. Quem decide de verdade é a análise que vem a seguir.

Classificação de um sistema

Todo sistema linear cai em exatamente um destes três casos:

Em livros mais antigos você encontra "consistente determinado", "consistente indeterminado" e "inconsistente" — são os mesmos três casos com outros nomes.

A leitura geométrica ajuda a não confundir. Com duas variáveis, cada equação é uma reta no plano:

• SPD — as retas se cruzam num ponto só;
• SPI — as retas são coincidentes: uma equação é múltipla da outra, e todo ponto da reta serve;
• SI — as retas são paralelas distintas: mesma inclinação, alturas diferentes, nunca se encontram.

Com três variáveis, troque "retas" por "planos": três planos podem se cruzar num ponto (SPD), numa reta inteira ou num plano (SPI), ou não ter ponto comum nenhum (SI).

Método da substituição

Isole uma variável numa equação e leve essa expressão para as outras, até sobrar uma equação com uma incógnita só. É o método mais direto quando o sistema é pequeno ou quando alguma variável já está quase isolada.

3.1 Exemplo resolvido

Resolva x + y = 3 e x − y = 1.

Isolando x na primeira: x = 3 − y.

Substituindo na segunda:

(3 − y) − y = 1 ⟹ 3 − 2y = 1 ⟹ 2y = 2 ⟹ y = 1

E voltando: x = 3 − 1 = 2. A solução é x = 2 e y = 1.

Método da adição (eliminação)

Some ou subtraia equações inteiras de modo que uma variável desapareça. Se os coeficientes não forem opostos, multiplique uma das equações por um número antes de somar.

O segredo é escolher bem qual par somar. Uma boa escolha mata duas variáveis de uma vez.

4.1 Exemplo resolvido

Resolva:

x + y + z = 6 (1)

2x − y + 3z = 14 (2)

−x + 4y − z = −2 (3)

Somando (1) e (3), somem duas variáveis de uma vez, porque x cancela com −x e z com −z:

5y = 4 ⟹ y = 4/5

Agora somando (1) e (2), elimina-se y:

3x + 4z = 20 (4)

De (1), x + z = 6 − 4/5 = 26/5, ou seja x = 26/5 − z. Substituindo em (4):

3(26/5 − z) + 4z = 20 ⟹ 78/5 + z = 20 ⟹ z = 22/5

E então x = 26/5 − 22/5 = 4/5.

A solução é x = 4/5, y = 4/5 e z = 22/5. Confira na equação (2): 8/5 − 4/5 + 66/5 = 70/5 = 14. Confere.

Escalonamento

O escalonamento é a eliminação feita de forma sistemática, sempre na mesma ordem, até o sistema ficar em forma escalonada — cada equação com uma incógnita a menos que a anterior:

a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z = b₁

a₂₂y + a₂₃z = b₂

a₃₃z = b₃

Chegando aí, a última equação dá z direto, a penúltima dá y, e a primeira dá x. Isso se chama substituição retroativa.

As três operações permitidas, que nunca mudam a solução do sistema:

1. trocar duas equações de lugar;
2. multiplicar uma equação inteira por um número diferente de zero;
3. somar a uma equação um múltiplo de outra.

O escalonamento também revela o tipo do sistema no fim do processo:

• se aparecer uma linha do tipo 0 = 0, ela é redundante — sobram menos equações úteis que incógnitas, e o sistema é SPI;
• se aparecer 0 = k, com k ≠ 0, é uma contradição: o sistema é SI;
• se sobrar uma equação por incógnita, é SPD.

Para sistemas de quatro ou cinco variáveis, escalonar é o caminho prático — substituição vira um emaranhado.

Regra de Cramer

A regra de Cramer resolve o sistema com determinantes. Ela exige que a matriz dos coeficientes seja quadrada (tantas equações quanto incógnitas) e que o seu determinante seja diferente de zero.

Escrevendo o sistema como A·x = b, chame de D = det(A) e de D_x o determinante obtido trocando a coluna do x pela coluna dos termos independentes. Então:

x = D_x ÷ D · y = D_y ÷ D · z = D_z ÷ D

A grande vantagem: dá para achar uma variável sem calcular as outras. Num sistema grande em que a questão pede só o z, isso economiza muito trabalho.

6.1 Exemplo resolvido

Resolva por Cramer:

2x + y + z = 5 · 3x − y + 2z = 7 · x + 2y − z = 4

A matriz dos coeficientes tem linhas (2, 1, 1), (3, −1, 2) e (1, 2, −1). Calculando o determinante pela primeira linha:

D = 2·[(−1)(−1) − 2·2] − 1·[3(−1) − 2·1] + 1·[3·2 − (−1)·1]

D = 2(1 − 4) − 1(−3 − 2) + 1(6 + 1) = −6 + 5 + 7 = 6

Como D ≠ 0, o sistema é SPD e Cramer se aplica. Trocando cada coluna pela coluna (5, 7, 4):

D_x = 5(1 − 4) − 1(−7 − 8) + 1(14 + 4) = −15 + 15 + 18 = 18

D_y = 2(−7 − 8) − 5(−3 − 2) + 1(12 − 7) = −30 + 25 + 5 = 0

D_z = 2(−4 − 14) − 1(12 − 7) + 5(6 + 1) = −36 − 5 + 35 = −6

Aplicando a regra:

x = 18 ÷ 6 = 3 · y = 0 ÷ 6 = 0 · z = −6 ÷ 6 = −1

A solução é x = 3, y = 0, z = −1. Conferindo na primeira equação: 2·3 + 0 + (−1) = 5. Confere.

Classificar sem resolver

Esta é a ferramenta que responde às questões com parâmetro — aquelas do tipo "para que valor de k…".

Repare no que isso significa na prática: para um sistema ter infinitas soluções ou nenhuma, é necessário que o determinante zere. Então o primeiro passo dessas questões é sempre impor D = 0 e resolver para o parâmetro.

Depois disso, para separar SPI de SI com duas equações, compare as três razões:

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⟹ SPI

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⟹ SI

Onde a e b são os coeficientes e c os termos independentes. Coeficientes proporcionais e constantes na mesma proporção quer dizer equações equivalentes; coeficientes proporcionais mas constantes fora da proporção quer dizer retas paralelas.

7.1 Exemplo resolvido

Para que valor de k o sistema 3x + 2y = 6 e 6x + ky = 12 tem infinitas soluções?

Impondo proporcionalidade nas três razões:

3/6 = 2/k = 6/12

De 3/6 = 1/2 e 2/k = 1/2, vem k = 4. A terceira razão, 6/12, já vale 1/2, então as três batem: com k = 4 a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, e o sistema é SPI.

Como isso cai na prova

Três formatos se repetem, e cada um pede uma ferramenta diferente:

• Interpretativo (estilo ENEM) — o trabalho está em montar o sistema a partir de um texto; as contas costumam ser simples. Nomeie as incógnitas explicitamente antes de escrever qualquer equação.
• Direto — o sistema vem pronto e é só resolver. Para 2×2, substituição; para 3×3 em diante, escalonamento.
• Teórico — aparece um parâmetro nos coeficientes e a pergunta é sobre o tipo do sistema. Aqui é o teste do determinante, quase sempre.

Exercícios

Estilo ENEM

1. Uma loja vende três tipos de frutas. O preço de 1 maçã e 2 bananas é R$ 11,00. O preço de 3 maçãs e 1 laranja é R$ 22,00. O preço de 2 bananas e 2 laranjas é R$ 20,00. Determine o preço de cada fruta.

2. (Enem 2023) O metrô de um município oferece dois tipos de tíquetes, azul e vermelho, vendidos em cartelas com nove tíquetes da mesma cor e mesmo valor unitário. Duas cartelas de tíquetes azuis e uma cartela de tíquetes vermelhos são vendidas por R$ 32,40. Sabe-se que o preço de um tíquete azul menos o preço de um tíquete vermelho é igual ao preço de um tíquete vermelho mais cinco centavos. Qual o preço, em real, de uma cartela de tíquetes vermelhos?

3. Numa sorveteria, 2 bolas de chocolate e 1 de baunilha custam R$ 12,00. Uma bola de chocolate e 2 de morango custam R$ 13,00. Se a bola de morango custa R$ 4,00, quanto custa cada bola de chocolate e de baunilha?

4. Uma agência vende dois pacotes turísticos. O de 5 dias custa R$ 1.500,00 e inclui 2 passeios; o de 7 dias custa R$ 2.000,00 e inclui 3 passeios. Uma pessoa quer comprar 4 pacotes totalizando 8 passeios, gastando no máximo R$ 5.000,00. Quantos pacotes de cada tipo ela deve comprar?

5. Um parque tem dois circuitos de corrida. No primeiro dia, um corredor faz 3 voltas no circuito maior e 2 no menor, percorrendo 1 800 m; em seguida faz mais 2 voltas no maior e 1 no menor, percorrendo mais 1 100 m. No segundo dia ele pretende percorrer 5 000 m, com um número inteiro de voltas e de modo que o número de voltas seja o maior possível. Qual será a soma do número de voltas nos dois circuitos?

Diretas simples

1. Resolva: 2x + 3y = 6 e 4x − y = 5

2. Resolva: x + 2y = 8 e 3x − y = 4

3. Resolva: 2x + 3y − z = 8, x + 2y + 2z = 2 e −x + y + z = −2

Diretas intermediárias

1. Resolva: 3x − 2y + z = 4, 2x + y − z = 5 e x − 3y + 2z = −1

2. Resolva: x − y + z = 2, 2x + 3y − 2z = 2 e 3x − 2y + z = 0

3. Resolva: 2x + 3y − z = 7, x + y + z = 6 e 4x − y + 2z = 15

Diretas avançadas

1. Resolva: x + y + z + w = 10, 2x − y + 3z − w = 5, −x + 2y − z + w = 4 e 3x − y + 2z + w = 11

2. Resolva: 4x + y − z + w = 12, x − y + z + 2w = 7, 2x + 3y − 2z + w = 10 e 3x − 2y + z + 3w = 13

3. Resolva: x + y + z + w + v = 10, 2x − y + 3z − w + v = 11, −x + 2y − z + w − v = −4, 3x − y + 2z + w + v = 13 e x − y + z − w + 2v = 10

Teóricas

1. O que significa dizer que um sistema é impossível? Dê um exemplo com duas variáveis e explique geometricamente.

2. Para que valores de k o sistema 2x + ky = 6 e 4x + 2y = 12 é impossível?

3. Qual é a condição para que um sistema seja indeterminado? Use um exemplo com duas variáveis e duas equações.

4. Para que valor de k o sistema 3x + 2y = 6 e 6x + ky = 12 tem infinitas soluções?

5. Desafio. Dado o sistema x + by + w = 6, x + 2by + 2z + 2w = 14, 2y + 5cz + 3w = 20 e x + y + z + w = 8, sabendo que b · c = −3/5 e que b e c são diferentes de zero: existe valor racional de b que faça o sistema não ter solução única? E real? Se existir, qual é o valor positivo de b?

6. Desafio. Um sistema nas variáveis x, y e z é dado por ax + by + cz = d, ex + 2by + 2cz = f e ax + 2by + 5cz = j. Mostre que a existência de solução única depende do determinante da matriz dos coeficientes, e dê exemplos de condições sobre os coeficientes que levem a sistema impossível e a sistema indeterminado.