Objetivos da aula
- Entender por que os números complexos precisaram ser inventados.
- Operar na forma algébrica: somar, multiplicar, conjugar e dividir.
- Localizar um complexo no plano de Argand-Gauss e achar módulo e argumento.
- Usar a forma trigonométrica e a fórmula de De Moivre para potências e raízes.
Por que os complexos existem
A equação x2 + 1 = 0 não tem solução real: nenhum número real elevado ao quadrado dá negativo. Em vez de parar aí, a matemática criou um número novo que resolve o problema por definição.
A unidade imaginária i é definida pela propriedade:
i2 = −1
Com ela, x2 + 1 = 0 passa a ter as soluções x = ±i, e x2 + 4 = 0 passa a ter x = ±2i.
Um número complexo na forma algébrica se escreve:
z = a + bi
- a — a parte real, um número real;
- b — a parte imaginária, também um número real;
- i — a unidade imaginária.
Quando b = 0, o complexo é um número real comum — ou seja, os reais estão dentro dos complexos. Quando a = 0 e b ≠ 0, ele é chamado de imaginário puro.
Potências de i
As potências de i se repetem de quatro em quatro:
i1 = i · i2 = −1 · i3 = −i · i4 = 1
Depois disso o ciclo recomeça: i5 = i4 · i = i, e assim por diante.
O truque do resto
Para calcular in com n grande, divida n por 4 e olhe só o resto. Resto 0 dá 1, resto 1 dá i, resto 2 dá −1, resto 3 dá −i.
Exemplo: i2026. Como 2026 ÷ 4 deixa resto 2, então i2026 = −1.
Adição, subtração e multiplicação
Na adição e na subtração, partes reais com partes reais e partes imaginárias com partes imaginárias:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Por exemplo, (3 + 2i) + (1 − 4i) = 4 − 2i, e (3 + 2i) − (1 − 4i) = 2 + 6i.
Na multiplicação, distribua normalmente e troque i2 por −1:
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Exemplo. (2 + 3i)(1 + 4i):
= (2 · 1 − 3 · 4) + (2 · 4 + 3 · 1)i = (2 − 12) + (8 + 3)i = −10 + 11i
Não é preciso decorar a fórmula: distribuir os quatro produtos e lembrar de i2 = −1 dá o mesmo resultado com menos risco de erro.
Conjugado e módulo
O conjugado de z = a + bi troca o sinal da parte imaginária:
z̄ = a − bi
Geometricamente, é o reflexo de z em relação ao eixo real. A propriedade que faz dele uma ferramenta:
z · z̄ = a2 + b2
O produto de um complexo pelo seu conjugado é sempre um número real e não negativo. É isso que permite tirar o i do denominador numa divisão.
O módulo de z é a distância do ponto z até a origem:
|z| = √(a2 + b2)
Para z = 3 + 4i: z̄ = 3 − 4i e |z| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Divisão
Para dividir, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O denominador vira real e a conta acaba:
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c2 + d2)
5.1 Exemplo resolvido
Divida 1 + i por 1 − i.
O conjugado do denominador é 1 + i:
(1 + i)(1 + i) ÷ [(1 − i)(1 + i)] = (1 + 2i + i2) ÷ (1 + 1)
= (1 + 2i − 1) ÷ 2 = 2i ÷ 2 = i
O plano de Argand-Gauss
Todo complexo z = a + bi corresponde ao ponto (a, b) num plano em que o eixo horizontal guarda a parte real e o vertical, a parte imaginária. Esse é o plano de Argand-Gauss, ou plano complexo.
Essa representação transforma operação algébrica em movimento geométrico: somar complexos é somar vetores, e multiplicar é girar e esticar.
Forma trigonométrica
Em vez de localizar z por coordenadas, localize-o por distância e ângulo:
z = r · (cos θ + i · sen θ)
- r = |z| = √(a2 + b2) — o módulo;
- θ — o argumento, o ângulo com o eixo real positivo.
As conversões entre as duas formas:
a = r · cos θ e b = r · sen θ
tg θ = b ÷ a
Cuidado com o quadrante
A calculadora devolve o arco-tangente sempre entre −90° e 90°, ou seja, no primeiro ou no quarto quadrante. Sempre confira em que quadrante o ponto realmente está e corrija somando 180° quando a parte real for negativa.
Para z = −2 + 3i, por exemplo, o ponto está no segundo quadrante: o argumento é 180° − arctg(3/2), e não arctg(−3/2).
7.1 Exemplo resolvido
Escreva z = 1 + i na forma trigonométrica.
r = √(12 + 12) = √2
Como tg θ = 1/1 = 1 e o ponto (1, 1) está no primeiro quadrante, θ = π/4. Logo:
z = √2 · (cos π/4 + i · sen π/4)
7.2 A notação cis
Escrever "cos θ + i sen θ" toda vez é cansativo, então abrevia-se:
cis θ = cos θ + i · sen θ
e a forma trigonométrica vira simplesmente z = r · cis θ.
Multiplicação, divisão e a fórmula de De Moivre
Na forma trigonométrica, as operações ficam quase triviais — e é por isso que ela existe:
| Operação | Módulo | Argumento |
|---|---|---|
| Multiplicar | multiplica | soma |
| Dividir | divide | subtrai |
| Elevar a n | eleva a n | multiplica por n |
r1cis θ1 · r2cis θ2 = r1r2 · cis(θ1 + θ2)
r1cis θ1 ÷ r2cis θ2 = (r1 ÷ r2) · cis(θ1 − θ2)
A terceira linha da tabela é a fórmula de De Moivre:
zn = rn · cis(n · θ)
É ela que torna viável calcular algo como (1 + i)20 sem multiplicar vinte vezes.
8.1 Exemplo resolvido
Calcule (1 + i)4.
Já vimos que 1 + i = √2 · cis(π/4). Aplicando De Moivre:
(1 + i)4 = (√2)4 · cis(4 · π/4) = 4 · cis(π)
Como cis(π) = cos π + i sen π = −1 + 0i = −1:
(1 + i)4 = −4
8.2 Raízes
De Moivre também dá as raízes. As n raízes n-ésimas de z = r cis θ são:
ⁿ√z = ⁿ√r · cis[(θ + 2kπ) ÷ n], com k = 0, 1, …, n − 1
São exatamente n raízes, todas com o mesmo módulo n√r e igualmente espaçadas — elas formam os vértices de um polígono regular de n lados centrado na origem.
Exemplo. As raízes quadradas de z = 4i. O ponto (0, 4) está sobre o eixo imaginário positivo, então r = 4 e θ = π/2. As duas raízes têm módulo √4 = 2:
k = 0: 2 · cis(π/4) · k = 1: 2 · cis(5π/4)
Na forma algébrica, elas são √2(1 + i) e −√2(1 + i) — opostas, como era de esperar de duas raízes quadradas.
Equações do segundo grau com raízes complexas
Quando o discriminante é negativo, a equação não tem raiz real — mas tem duas raízes complexas. Basta escrever √(−k) como i√k.
9.1 Exemplo resolvido
Resolva z2 + 4z + 13 = 0.
Δ = 42 − 4 · 1 · 13 = 16 − 52 = −36
Como √(−36) = 6i:
z = (−4 ± 6i) ÷ 2 = −2 + 3i ou −2 − 3i
Repare que as duas raízes são conjugadas uma da outra. Isso sempre acontece quando os coeficientes da equação são reais.
Exercícios
Calcule a soma e a diferença de z1 = 3 + 4i e z2 = 5 − 2i.
Encontre o produto de z1 = 2 + 3i e z2 = 4 + i. O que acontece com o módulo e com o argumento do resultado?
Calcule o quociente z1 ÷ z2, com z1 = 7 + 6i e z2 = 2 − i. Dê a resposta na forma a + bi.
Dado z = 5 + 12i, determine o conjugado e o módulo, e explique o que o conjugado representa no plano complexo.
Resolva z1 · z2 − z3, onde z1 = 2 + i, z2 = 3 − 2i e z3 = 4i.
Determine o módulo e o argumento de z1 = 1 + i, z2 = −2 + 3i e z3 = −1 − 2i, atentando ao quadrante de cada um.
Determine a forma trigonométrica de z = 1 − √3i, especificando o módulo r e o argumento θ.
Converta z = 4 · (cos π/3 + i sen π/3) para a forma a + bi.
Encontre as raízes quadradas de z = 9i usando a forma trigonométrica.
Seja z = 3 + 4i. Determine z2 e z3, e explique o que acontece com o módulo e o argumento a cada potência.
Expresse z = 2 · (cos π/4 + i sen π/4) usando a notação cis θ.
Calcule o produto de z1 = 3 · cis(π/6) e z2 = 2 · cis(π/4), deixando a resposta na forma trigonométrica.
Divida z1 = 4 · cis(π/3) por z2 = 2 · cis(π/6), deixando a resposta na forma trigonométrica.
Use a fórmula de De Moivre para calcular (1 + i)5, dando a resposta na forma a + bi.
Dado z = 2 · cis(2π/3), encontre z4 usando a notação cis θ.
Resolva z2 + 4z + 13 = 0 no conjunto dos números complexos.
Encontre todas as raízes cúbicas de z = 8, na forma trigonométrica, e descreva como elas se distribuem no plano complexo.
Resolva o sistema z1 + z2 = 4 + 2i e z1 − z2 = 2 − 4i.
Um triângulo no plano complexo tem vértices em z1 = 0, z2 = 1 e z3 = 1 + i. Classifique o triângulo, justificando com os módulos das diferenças.
Desafio. Calcule a soma dos cossenos dos ângulos 5°, 77°, 149°, 221° e 293° usando a notação cis θ. Dica: os ângulos formam uma progressão aritmética, e cis θ · cis α = cis(θ + α).