Polinômios

Forma geral de um polinômio

Um polinômio na variável x é uma soma de termos em que x aparece elevado a expoentes inteiros não negativos, cada um multiplicado por um número.

P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀

• n — o grau do polinômio: o maior expoente com coeficiente diferente de zero;
• a_n, …, a₀ — os coeficientes, com a_n ≠ 0;
• a_n — o coeficiente líder, o que acompanha o termo de maior grau;
• a₀ — o termo independente, o que não tem x.

Em P(x) = 2x³ − 4x² + 3x − 5, o grau é 3, o coeficiente líder é 2, o termo independente é −5 e os coeficientes são 2, −4, 3 e −5.

Repare na exigência a_n ≠ 0: ela é o que torna o grau bem definido. Em questões que trazem um parâmetro no coeficiente líder, é justamente aí que mora a pergunta — se aquele coeficiente zerar, o grau cai.

Valor numérico

O valor numérico de P(x) em x = a é o número P(a) que se obtém substituindo x por a e fazendo as contas.

Duas substituições valem por várias questões de prova:

Por exemplo, a soma dos coeficientes de P(x) = (6x² − 4x + 1)² não exige expandir nada: basta calcular P(1) = (6 − 4 + 1)² = 3² = 9.

Polinômios idênticos e polinômio nulo

Dois polinômios são idênticos quando têm exatamente os mesmos coeficientes em cada grau. Não basta parecerem iguais: os coeficientes correspondentes precisam ser iguais um a um.

É disso que sai o método para questões com incógnitas nos coeficientes: escreva os dois polinômios, iguale coeficiente a coeficiente e resolva o sistema.

Um polinômio é identicamente nulo quando P(x) = 0 para todo x. Isso acontece se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero.

3.1 Exemplo resolvido

Determine a, b, c, d e e para que P(x) = (a+7)x⁴ − bx³ − cx² − (d+2)x + e − 6 seja identicamente nulo.

Cada coeficiente tem que zerar:

• a + 7 = 0 ⟹ a = −7
• −b = 0 ⟹ b = 0
• −c = 0 ⟹ c = 0
• −(d + 2) = 0 ⟹ d = −2
• e − 6 = 0 ⟹ e = 6

Raízes

Uma raiz de P(x) é um valor de x que anula o polinômio, ou seja, para o qual P(x) = 0.

Em P(x) = x² − 5x + 6, o número 2 é raiz porque P(2) = 4 − 10 + 6 = 0. O número 3 também é.

O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau n ≥ 1 tem exatamente n raízes no conjunto dos números complexos, contadas com suas multiplicidades. E daí sai a forma fatorada:

P(x) = a_n(x − r₁)(x − r₂) … (x − r_n)

Onde r₁, …, r_n são as raízes e a_n é o coeficiente líder — que não pode ser esquecido.

4.1 Multiplicidade

Uma raiz r é n-upla (dupla, tripla…) quando o fator (x − r) aparece n vezes na fatoração. Em P(x) = (x − 2)³(x + 1), a raiz 2 é tripla e a raiz −1 é simples — o polinômio tem grau 4 e, contando multiplicidades, 4 raízes.

4.2 Raízes complexas vêm em pares

Se um polinômio tem coeficientes reais e o número complexo z = a + bi é raiz dele, então o conjugado a − bi também é raiz.

Consequência prática: raízes não reais sempre aparecem em número par. Um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem, obrigatoriamente, pelo menos uma raiz real.

Como encontrar as raízes

5.1 Grau 2: Bhaskara

Para ax² + bx + c = 0:

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, com Δ = b² − 4ac

Exemplo. P(x) = 2x² − 4x − 6.

Δ = (−4)² − 4 · 2 · (−6) = 16 + 48 = 64

x = (4 ± 8) ÷ 4 ⟹ x = 3 ou x = −1

5.2 Equações biquadradas

Numa equação da forma ax⁴ + bx² + c = 0, a substituição y = x² transforma o problema numa equação do segundo grau.

Exemplo. x⁴ − 5x² + 6 = 0. Com y = x²:

y² − 5y + 6 = 0 ⟹ y = 3 ou y = 2

Voltando para x: de x² = 3 vêm ±√3, e de x² = 2 vêm ±√2. São quatro raízes, como o grau 4 exigia — não pare no y.

5.3 Grau maior que 2: achar uma raiz e baixar o grau

Não existe fórmula prática para grau alto. A estratégia é encontrar uma raiz (testando divisores do termo independente), dividir o polinômio por (x − r) e resolver o que sobrou.

Exemplo. P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. Testando x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0, então 1 é raiz. Dividindo por (x − 1) sobra x² − 5x + 6, cujas raízes são 2 e 3. A fatoração completa é (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Relações de Girard

As relações de Girard ligam as raízes aos coeficientes — sem precisar calcular as raízes. Para um polinômio de grau n com raízes r₁, …, r_n:

r₁ + r₂ + … + r_n = − a_n−1 ÷ a_n

r₁r₂ + r₁r₃ + … = a_n−2 ÷ a_n

r₁r₂ … r_n = (−1)ⁿ · a₀ ÷ a_n

Os sinais alternam: soma com menos, soma dos produtos dois a dois com mais, três a três com menos, e assim por diante.

No caso mais cobrado, o do grau 2 (ax² + bx + c), isso vira soma = −b/a e produto = c/a.

6.1 Exemplo resolvido

Para P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6, temos a₃ = 1, a₂ = −6, a₁ = 11 e a₀ = −6:

• soma das raízes = −(−6) ÷ 1 = 6
• soma dos produtos dois a dois = 11 ÷ 1 = 11
• produto das raízes = (−1)³ · (−6) ÷ 1 = 6

As raízes são 1, 2 e 3: de fato 1 + 2 + 3 = 6, 1·2 + 2·3 + 3·1 = 11 e 1·2·3 = 6.

Divisão de polinômios

Dividir P(x) por D(x) é achar um quociente Q(x) e um resto R(x) tais que:

P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)

com o grau de R(x) menor que o grau de D(x). Dividindo por um binômio de grau 1, o resto é sempre uma constante; dividindo por um polinômio de grau 2, o resto tem a forma ax + b.

Quando o resto é zero, dizemos que P(x) é divisível por D(x).

7.1 Dispositivo de Briot-Ruffini

Para dividir por um binômio da forma x − r, o dispositivo de Briot-Ruffini substitui a divisão longa por uma linha de contas. Ele funciona para qualquer r — não é preciso que r seja raiz; se for, o resto simplesmente dá zero.

1. Escreva os coeficientes de P(x) em ordem decrescente de grau, sem pular nenhum — grau que não aparece entra como coeficiente 0.
2. Ponha r à esquerda.
3. Baixe o primeiro coeficiente.
4. Multiplique o número que você acabou de escrever por r, some ao próximo coeficiente, e escreva o resultado. Repita até o fim.
5. O último número é o resto; os anteriores são os coeficientes do quociente, que tem um grau a menos.

Dividindo x³ − 6x² + 11x − 6 por x − 1, com r = 1:

Cada casa: baixa o 1; 1·1 + (−6) = −5; (−5)·1 + 11 = 6; 6·1 + (−6) = 0. O quociente é x² − 5x + 6 e o resto é 0, confirmando que

x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)

7.2 Dividindo por ax + b

Briot-Ruffini pede um binômio da forma x − r. Para dividir por algo como 2x − 1, coloque o coeficiente em evidência: 2x − 1 = 2(x − ½).

Divida por (x − ½) normalmente. O resto é o mesmo; o quociente obtido precisa ser dividido por 2 no fim, porque você dividiu por (x − ½) em vez de 2(x − ½).

Teorema do resto

Este é o resultado que economiza mais tempo em prova:

A demonstração cabe em uma linha. Dividindo por um binômio de grau 1, o resto é uma constante R, então P(x) = (x − r) · Q(x) + R. Fazendo x = r, o primeiro termo zera e sobra P(r) = R.

Ou seja: para achar o resto, não divida — substitua.

Dele decorre o teorema de D'Alembert: P(x) é divisível por (x − r) se, e somente se, P(r) = 0 — isto é, se r for raiz.

8.1 Exemplo resolvido

Qual o resto da divisão de P(x) = x³ − 5x² − 9x + 8 por x + 3?

Cuidado com o sinal: x + 3 é x − (−3), então r = −3.

P(−3) = (−3)³ − 5(−3)² − 9(−3) + 8 = −27 − 45 + 27 + 8 = −37

8.2 Resto na divisão por um polinômio de grau 2

Quando o divisor tem grau 2, o resto tem a forma ax + b. Se o divisor fatora em duas raízes distintas — por exemplo x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2) — escreva

P(x) = (x − 1)(x + 2) · Q(x) + ax + b

e substitua x = 1 e x = −2. Os dois valores P(1) e P(−2) dão um sistema de duas equações em a e b.

Operações com polinômios

Adição e subtração — some ou subtraia os coeficientes dos termos de mesmo grau:

(2x³ + 3x²) + (x³ − 2x²) = 3x³ + x²

Multiplicação — distribua cada termo de um sobre cada termo do outro:

(x + 2)(x − 3) = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6

Uma consequência útil: o grau do produto é a soma dos graus. Multiplicar um polinômio de grau 3 por um de grau 2 dá sempre grau 5.

Técnica: polinômios auxiliares

Esta é uma ideia para questões que dão o valor de P(x) em vários pontos e pedem o polinômio, ou o seu valor em outro ponto.

A jogada é construir um polinômio auxiliar que tenha raízes nesses pontos, porque raízes conhecidas dão fatoração conhecida.

10.1 Exemplo resolvido

Um polinômio P(x) de grau 3, com coeficiente líder 1, satisfaz P(1) = 1, P(2) = 2 e P(3) = 3. Determine P(x).

Os valores não são zeros, então P não tem raízes conhecidas. Mas defina:

Q(x) = P(x) − x

Agora Q(1) = 1 − 1 = 0, Q(2) = 0 e Q(3) = 0. O auxiliar Q tem três raízes conhecidas, e continua com grau 3 e coeficiente líder 1 (subtrair x não mexe no termo de grau 3). Logo:

Q(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) = x³ − 6x² + 11x − 6

E, voltando:

P(x) = Q(x) + x = x³ − 6x² + 12x − 6

Conferindo: P(1) = 1 − 6 + 12 − 6 = 1. Confere.

Exercícios

1. Uma empresa de tecnologia espera que o número de vendas V(x), em milhares de unidades, ao longo do tempo x em meses, siga V(x) = −2x² + 12x − 16. Determine em que mês a empresa atinge o pico de vendas e em que mês as vendas cessam.

2. Calcule o valor numérico do polinômio P(x) = 2x⁴ − x³ − 3x² + x + 5 para x = i.

3. Dado P(x) = x³ + kx² − 2x + 5, determine k sabendo que P(2) = P(0).

4. Determine a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = (6x² − 4x + 1)².

5. Determine o grau do polinômio P(x) = (a − 1)x³ + (a + 1)x² − ax + a, discutindo em função de a.

6. Encontre as raízes de P(x) = x³ − 7x + 6 e escreva a sua forma fatorada.

7. Determine a, b, c e d para que sejam idênticos os polinômios P(x) = (a + 2)x³ + (b − 1)x² + cx + 3 e Q(x) = ax² + 2x − d + 1.

8. Divida P(x) = x⁴ − 8x³ + 22x² − 24x + 8 por x − 2 utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.

9. Determine o resto da divisão de P(x) = x³ − 5x² − 9x + 8 por x + 3.

10. Determine as condições sobre a e b para que o polinômio x⁴ + ax³ + bx² + 8x + 4 seja um quadrado perfeito.

11. Dado P(x) = xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x + 1, com n inteiro positivo, calcule a soma dos coeficientes de P(x).

12. Discuta o grau do polinômio P(x) = (m − 4)x³ + (m² − 16)x² + (m + 4)x + 4 em função do parâmetro m.

13. Determine o valor de p para que o polinômio 2x³ + 5x² − px + 2 seja divisível por x − 2.

14. Obtenha o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x⁴ − 3x³ − 2x² + 6x − 3 por 2x − 1.

15. Determine a, b, c, d e e para que o polinômio P(x) = (a + 7)x⁴ − bx³ − cx² − (d + 2)x + e − 6 seja identicamente nulo.

16. Determine o resto da divisão de P(x) = x¹⁰⁰ + 2x⁹⁹ − 3x³ + 2x + 5 por x² + x − 2.

17. Determine o resto da divisão de P(x) = x⁴ − 2x³ + 3x² − x + 1 por x − i.

18. Um climatologista usa o polinômio P(x) = x³ − 5x + 4 para prever temperaturas médias anuais. Encontre as suas raízes.

19. Um físico analisa o movimento de uma partícula num campo de força, chegando ao polinômio P(x) = x⁵ − 5x³ + 4x. Encontre as raízes, que correspondem aos pontos de equilíbrio.