Introdução à álgebra e equações

O que é álgebra

A álgebra é a parte da matemática que usa letras para representar números. Essas letras se chamam variáveis, e servem para escrever uma regra que vale para muitos números de uma vez, ou para representar um valor que você ainda não conhece e quer descobrir.

Quando você escreve x + 3 = 7, está dizendo: "existe um número que, somado a 3, dá 7 — qual é?". A álgebra é o conjunto de técnicas para responder a esse tipo de pergunta sem tentativa e erro.

Antes de começar, três palavras que vão aparecer o tempo todo:

• Termo — cada parcela de uma expressão, separada por + ou −. Em 4x + 5x − 3, os termos são 4x, 5x e −3.
• Coeficiente — o número que multiplica a variável. Em 4x, o coeficiente é 4.
• Termos semelhantes — os que têm exatamente a mesma parte literal. 4x e 5x são semelhantes; 4x e 4x² não são.

Equações do primeiro grau

Uma equação afirma que duas expressões são iguais. Resolver a equação é descobrir qual valor da variável torna essa afirmação verdadeira.

A ideia que organiza tudo: uma equação é uma balança em equilíbrio. O que você fizer de um lado, tem que fazer do outro. Some, subtraia, multiplique ou divida — desde que seja nos dois lados, a igualdade continua valendo.

O objetivo é isolar a variável: deixá-la sozinha de um lado. Para isso, desfaça as operações na ordem inversa daquela em que elas foram aplicadas.

2.1 Exemplo resolvido

Resolva 2x + 3 = 7.

O que está grudado no x? Um "+3" e um "×2". Desfaça o +3 primeiro, subtraindo 3 dos dois lados:

2x + 3 − 3 = 7 − 3 ⟹ 2x = 4

Agora desfaça o ×2, dividindo os dois lados por 2:

2x ÷ 2 = 4 ÷ 2 ⟹ x = 2

Sempre confira. Substitua o valor encontrado na equação original: 2 · 2 + 3 = 4 + 3 = 7. Confere. Essa verificação custa dez segundos e pega quase todo erro de conta.

Simplificação de expressões

Simplificar é reescrever uma expressão de forma mais curta, sem mudar o seu valor. A operação básica é somar os termos semelhantes, que funciona porque você pode colocar a variável em evidência:

4x + 5x − 3x = (4 + 5 − 3) · x = 6x

Repare que só foi possível porque os três termos tinham a mesma parte literal. Numa expressão como 4x + 5y, não há o que simplificar: são coisas diferentes, e a expressão já está na forma mais curta.

Expansão

Expandir (ou distribuir) é eliminar os parênteses, multiplicando cada termo de dentro por quem está multiplicando de fora.

Com um produto de dois binômios, cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo:

(x + 3)(x − 4) = x(x − 4) + 3(x − 4) = x² − 4x + 3x − 12 = x² − x − 12

O erro mais comum aqui é o sinal. Quando há um menos na frente do parêntese, ele inverte todos os sinais de dentro:

2(x + 3) − 4(x − 1) = 2x + 6 − 4x + 4 = −2x + 10

Note o "−4 · (−1) = +4". Quem esquece isso erra a questão inteira.

Fatoração

Fatorar é o caminho contrário da expansão: escrever a expressão como um produto. Serve para simplificar frações, resolver equações e enxergar as raízes de imediato.

5.1 Fator comum em evidência

Se todos os termos têm um fator em comum, coloque-o para fora:

6x² + 9x = 3x · (2x + 3)

5.2 Diferença de quadrados

Toda expressão da forma a² − b² fatora assim:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Por exemplo, x² − 9 é x² − 3², logo:

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

Cuidado: isso vale para uma diferença. A soma x² + 9 não fatora nos números reais.

5.3 Trinômio do segundo grau

Para fatorar x² + Sx + P, procure dois números cuja soma seja S e cujo produto seja P. Em x² + 5x + 6, procuramos dois números que somem 5 e multipliquem 6 — são 2 e 3:

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

E em x² + 2x − 8, dois números que somem 2 e multipliquem −8 — são 4 e −2:

x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)

Equações do segundo grau

Uma equação quadrática tem a variável elevada ao quadrado. A forma padrão é:

ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0

Onde a, b e c são os coeficientes. A solução geral é a fórmula de Bhaskara:

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, com Δ = b² − 4ac

O Δ (delta) chama-se discriminante, e sozinho já diz quantas raízes reais existem:

6.1 Exemplo resolvido

Resolva x² − 4x + 3 = 0.

Identificando os coeficientes: a = 1, b = −4, c = 3.

Δ = (−4)² − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4

x = (4 ± √4) ÷ 2 = (4 ± 2) ÷ 2

As duas raízes saem daí:

x₁ = (4 + 2) ÷ 2 = 3 e x₂ = (4 − 2) ÷ 2 = 1

Repare que esse trinômio também sai por fatoração: dois números que somem −4 e multipliquem 3 são −1 e −3, então x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), e as raízes são 1 e 3. Quando dá para fatorar de cabeça, é mais rápido que Bhaskara.

Inequações

Uma inequação é como uma equação, mas com >, <, ≥ ou ≤ no lugar do sinal de igual. A resposta não é um número: é um intervalo de números.

O método é o mesmo das equações — isolar a variável — com uma diferença, e ela é decisiva:

7.1 Exemplo sem inversão

Resolva 2x + 5 > 7.

2x > 7 − 5 ⟹ 2x > 2 ⟹ x > 1

Dividimos por 2, que é positivo, então o sinal continua o mesmo.

7.2 Exemplo com inversão

Resolva −3x + 7 ≤ 1.

−3x ≤ 1 − 7 ⟹ −3x ≤ −6

Agora dividimos por −3, que é negativo — então o ≤ vira ≥:

x ≥ 2

Quem esquece de inverter responde x ≤ 2 e erra o exercício inteiro. Sempre que o coeficiente da variável for negativo, acenda o alerta.

Sistemas de equações

Um sistema é um conjunto de equações que precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo pelos mesmos valores. Com duas incógnitas, você precisa de duas equações.

O método mais direto é a substituição: isole uma variável numa das equações e leve essa expressão para a outra.

8.1 Exemplo resolvido

Resolva o sistema formado por 2x + y = 5 e x − y = 2.

Isolando y na segunda equação:

y = x − 2

Substituindo na primeira:

2x + (x − 2) = 5 ⟹ 3x − 2 = 5 ⟹ 3x = 7 ⟹ x = 7 ÷ 3

E voltando para achar y:

y = 7 ÷ 3 − 2 = 7 ÷ 3 − 6 ÷ 3 = 1 ÷ 3

A solução é x = 7/3 e y = 1/3. Conferindo na primeira equação: 2 · (7/3) + 1/3 = 14/3 + 1/3 = 15/3 = 5. Confere.

Resposta com fração não é sinal de erro — sistemas frequentemente têm solução fracionária. Os outros métodos (adição, escalonamento e regra de Cramer) e a classificação dos sistemas estão na aula de Sistemas lineares.

Exercícios

1. Resolva a equação: 2x + 3 = 7

2. Resolva a equação: 5y − 4 = 11

3. Resolva a equação: 3x − 2x + 4 = 9

4. Simplifique a expressão: 4x + 5x − 3x

5. Resolva a equação quadrática: x² − 4x + 3 = 0

6. Resolva a inequação: 2x + 5 > 7

7. Fatore a expressão: x² − 9

8. Resolva o sistema de equações: 2x + y = 5 e x − y = 2

9. Determine o valor de k para que x = 2 seja solução da equação kx + 3 = 7

10. Expanda e simplifique: (x + 3)(x − 4)

11. Resolva a equação: x/2 + 3/4 = 1

12. Simplifique a expressão: 2(x + 3) − 4(x − 1)

13. Resolva a equação quadrática: 3x² − 5x + 2 = 0

14. Fatore a expressão: x² + 5x + 6

15. Resolva a inequação: −3x + 7 ≤ 1

16. Resolva o sistema de equações: x + y = 3 e 2x − y = 4

17. Determine o valor de a para que a equação ax² − 3x + 2 = 0 tenha uma raiz igual a 1.

18. Simplifique a expressão: (2x + 3) − (x − 4)

19. Resolva a equação: 2/x + 3/x = 5/2

20. Fatore a expressão: x² + 2x − 8