Objetivos da aula
- Montar a proporção certa num feixe de paralelas e num triângulo cortado por uma paralela.
- Dividir um lado pela bissetriz sem medir nada.
- Reconhecer triângulos semelhantes e achar a razão de semelhança.
- Saber que áreas crescem com o quadrado da razão.
- Usar as cinco relações métricas do triângulo retângulo.
- Guardar os lados dos triângulos 30-60-90 e 45-45-90.
Teorema de Tales
Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, os segmentos que ficam numa transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes na outra. As paralelas "fatiam" as duas transversais na mesma proporção.
a ÷ b = c ÷ d
- a, b — segmentos consecutivos numa transversal, em qualquer unidade de comprimento;
- c, d — os segmentos correspondentes na outra transversal, na mesma unidade.
Exemplo. Numa transversal os segmentos medem 3 cm e 5 cm; na outra, o correspondente ao de 3 cm mede 6 cm. Então 3 ÷ 5 = 6 ÷ x, e x = 5 · 6 ÷ 3 = 10 cm.
O cuidado é só de correspondência: o segmento de cima de uma transversal conversa com o segmento de cima da outra. Trocar a ordem numa das frações é o erro que mais aparece aqui.
1.1 Tales dentro do triângulo
Uma reta paralela a um lado de um triângulo corta os outros dois lados na mesma proporção. No triângulo ABC, com D em AB, E em AC e DE paralelo a BC:
AD ÷ DB = AE ÷ EC
E mais: o triângulo ADE é uma miniatura de ABC, então também vale DE ÷ BC = AD ÷ AB. Atenção ao denominador nessa segunda razão: é o lado inteiro AB, não o pedaço DB.
Teorema da bissetriz interna
A bissetriz do ângulo  divide o lado oposto BC em dois pedaços proporcionais aos lados que formam o ângulo. Com D o pé da bissetriz:
BD ÷ DC = AB ÷ AC
Em palavras: o pedaço maior fica do lado do lado maior.
2.1 Exemplo resolvido
No triângulo ABC, AB = 6, AC = 9 e BC = 10. Onde a bissetriz de  corta BC?
A razão é 6 : 9 = 2 : 3, então BC se divide em 5 partes iguais de 10 ÷ 5 = 2:
BD = 2 · 2 = 4 e DC = 3 · 2 = 6
Conferindo: 4 ÷ 6 = 6 ÷ 9 = ⅔, e 4 + 6 = 10.
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando um é ampliação ou redução do outro: ângulos iguais e lados proporcionais. A constante da proporção é a razão de semelhança k.
a′ ÷ a = b′ ÷ b = c′ ÷ c = k
- a, b, c — lados de um triângulo;
- a′, b′, c′ — os lados correspondentes do outro, na mesma unidade;
- k — a razão de semelhança, sem unidade.
Como na congruência, não é preciso checar tudo. Três casos bastam:
| Caso | O que basta |
|---|---|
| AA | dois ângulos iguais |
| LAL | dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual |
| LLL | os três lados proporcionais |
O AA é o mais usado de longe, porque em prova quase sempre há um ângulo reto e um ângulo comum, ou duas paralelas criando ângulos iguais.
Como não errar a correspondência
Antes de montar a proporção, marque qual ângulo é igual a qual. Lado correspondente é o oposto ao mesmo ângulo nos dois triângulos. Casar lados pelo tamanho aparente no desenho é como se perde questão fácil — ainda mais quando um dos triângulos está girado ou espelhado.
3.1 Exemplo resolvido: a sombra
Uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 1,20 m. No mesmo instante, uma árvore projeta sombra de 8 m. Qual a altura da árvore?
Os raios de sol chegam paralelos, então pessoa e sombra formam um triângulo retângulo semelhante ao da árvore (caso AA: ângulo reto e mesmo ângulo de incidência):
h ÷ 8 = 1,80 ÷ 1,20 ⟹ h = 8 · 1,5 = 12 m
Razão entre áreas
Se os comprimentos se multiplicam por k, as áreas se multiplicam por k2. Área é comprimento vezes comprimento, e cada um dos dois fatores ganhou o k.
A′ ÷ A = k2
- A, A′ — áreas das duas figuras semelhantes, na mesma unidade;
- k — a razão de semelhança entre os comprimentos.
Exemplo. A paralela que passa pelos pontos médios de dois lados de um triângulo cria um triângulo menor com lados pela metade (k = ½). A área dele não é metade da original: é (½)2 = ¼.
O mesmo vale para qualquer figura, não só triângulo, e para volumes vale k3 — assunto da geometria espacial.
Relações métricas no triângulo retângulo
Baixe a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo. Ela divide o triângulo em dois triângulos menores, e os três — o grande e os dois pequenos — são semelhantes entre si (todos têm um ângulo reto e compartilham um ângulo agudo). Dessa semelhança saem as relações.
- a — hipotenusa (BC);
- b, c — catetos (AC e AB);
- h — altura relativa à hipotenusa (AH);
- m, n — projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa, com m + n = a.
Tudo na mesma unidade de comprimento:
b2 = a · m c2 = a · n
h2 = m · n a · h = b · c
a2 = b2 + c2
A leitura que ajuda a lembrar: cada cateto ao quadrado é a hipotenusa vezes a projeção dele mesmo; a altura ao quadrado é o produto das duas projeções; e a · h = b · c é só a área calculada de dois jeitos (base e altura, ou cateto e cateto).
5.1 Exemplo resolvido
Catetos 6 e 8. Calcule a hipotenusa, a altura e as projeções.
a = √(36 + 64) = √100 = 10
h = b · c ÷ a = 6 · 8 ÷ 10 = 4,8
projeção do cateto 8: 64 ÷ 10 = 6,4 projeção do cateto 6: 36 ÷ 10 = 3,6
Conferindo: 6,4 + 3,6 = 10, e 6,4 · 3,6 = 23,04 = 4,82. Tudo fecha.
Pitágoras e a classificação pelos lados
O teorema de Pitágoras é a última das relações acima, e vale nos dois sentidos: se a2 = b2 + c2, o triângulo é retângulo. Isso dá um teste para qualquer triângulo, comparando o quadrado do maior lado com a soma dos quadrados dos outros dois:
| Se o maior lado ao quadrado for… | O triângulo é |
|---|---|
| igual à soma | retângulo |
| menor que a soma | acutângulo |
| maior que a soma | obtusângulo |
Exemplo. Lados 6, 8 e 11: 112 = 121 e 62 + 82 = 100. Como 121 > 100, o triângulo é obtusângulo.
Vale decorar algumas ternas pitagóricas, porque aparecem disfarçadas o tempo todo: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, e os múltiplos delas (6-8-10, 9-12-15…).
Triângulos notáveis
Dois triângulos retângulos aparecem tanto que é mais rápido saber os lados de cor:
| Triângulo | Lados, em proporção | De onde vem |
|---|---|---|
| 45-45-90 | 1 : 1 : √2 | metade de um quadrado |
| 30-60-90 | 1 : √3 : 2 | metade de um equilátero |
No 30-60-90, o cateto oposto ao 30° é metade da hipotenusa. Daí saem duas fórmulas usadas o tempo inteiro:
diagonal do quadrado: d = ℓ√2 altura do equilátero: h = ℓ√3 ÷ 2
- ℓ — o lado do quadrado ou do triângulo equilátero;
- d, h — diagonal e altura, na mesma unidade de ℓ.
Exemplo. Num 30-60-90 de hipotenusa 12, o cateto oposto ao 30° mede 6 e o oposto ao 60° mede 6√3 ≈ 10,39.
Onde se erra
- Usar o pedaço no lugar do lado inteiro. Em DE ÷ BC, a razão é com AB, não com DB.
- Esquecer o quadrado nas áreas. Lados dobram, área quadruplica.
- Trocar as projeções. b2 = a · m usa a projeção do próprio b, a que fica encostada nele.
- Aplicar Pitágoras em triângulo que não é retângulo. Sem ângulo reto, a relação não vale; para isso existe a lei dos cossenos.
- Testar a classificação com o lado errado. O teste compara o quadrado do maior lado com os outros dois.
Onde isso aparece fora da prova
Semelhança é o que faz mapa e planta funcionarem: numa escala 1 : 200, cada centímetro do papel vale 2 m, mas cada centímetro quadrado vale 4 m² — e é aí que muita gente erra a área de um terreno lido na planta. A medição de altura pela sombra é a mesma que Tales teria usado para medir as pirâmides, e o triângulo 3-4-5 ainda é o jeito de pedreiro esquadrejar uma parede com uma trena.
Exercícios
Básico
Três retas paralelas são cortadas por duas transversais. Numa delas, os segmentos determinados entre as paralelas medem 3 cm e 5 cm. Na outra, o segmento correspondente ao de 3 cm mede 6 cm. Quanto mede o segmento correspondente ao de 5 cm?
Uma pessoa de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 1,20 m. No mesmo instante, uma árvore vizinha projeta uma sombra de 8 m. Qual a altura da árvore?
Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. Quanto mede a hipotenusa?
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm. Quanto mede o outro cateto?
Calcule a diagonal de um quadrado de lado 6 cm e a altura de um triângulo equilátero de lado 10 cm. Dê as respostas na forma exata e aproximada.
Intermediário
No triângulo ABC, o ponto D está em AB e o ponto E está em AC, com DE paralelo a BC. Sabe-se que AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm e BC = 15 cm. Calcule EC e DE.
No triângulo ABC, AB = 6 cm, AC = 9 cm e BC = 10 cm. A bissetriz interna do ângulo  corta BC no ponto D. Calcule BD e DC.
Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm. Calcule a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos dois catetos sobre ela.
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo divide a hipotenusa em segmentos de 9 cm e 16 cm. Calcule a altura, a hipotenusa e os dois catetos.
Classifique quanto aos ângulos os triângulos de lados: (a) 7, 24 e 25; (b) 5, 6 e 8; (c) 6, 7 e 8.
Dois triângulos são semelhantes, e a razão entre os lados do maior e os lados correspondentes do menor é 3/2. A área do menor é 20 cm². Qual a área do maior?
Avançado
Na planta de um apartamento, na escala 1 : 200, uma sala retangular aparece com 4 cm por 3 cm. Calcule as dimensões reais e a área real da sala, em metros quadrados.
Num triângulo retângulo, um dos ângulos agudos mede 30° e a hipotenusa mede 12 cm. Calcule os dois catetos e a área do triângulo.
Uma escada de 5 m está apoiada numa parede vertical, com o pé a 3 m da parede. O pé da escada escorrega e se afasta mais 1 m da parede. Quanto o topo da escada desceu?
Um triângulo tem base de 12 cm e altura de 8 cm relativa a essa base. Inscreve-se nele um quadrado com um dos lados apoiado sobre a base e os outros dois vértices sobre os outros dois lados do triângulo. Quanto mede o lado do quadrado?