Polígonos, quadriláteros e áreas

Polígonos

Um polígono é uma linha fechada formada só por segmentos que não se cruzam. Os segmentos são os lados; os pontos onde eles se encontram são os vértices. Num polígono, o número de lados é igual ao número de vértices e ao número de ângulos internos.

Ele é convexo quando qualquer segmento ligando dois pontos de dentro fica inteiro dentro — na prática, nenhum ângulo interno passa de 180°. Com uma "reentrância", ele é não convexo. As fórmulas desta aula valem para polígonos convexos.

Número de diagonais

Uma diagonal liga dois vértices que não são vizinhos. De cada vértice saem n − 3 diagonais (não vale ligar a ele mesmo nem aos dois vizinhos). Multiplicando pelos n vértices, cada diagonal foi contada duas vezes — uma de cada ponta:

d = n · (n − 3) ÷ 2

• n — número de lados do polígono;
• d — número de diagonais.

Exemplo. O decágono tem 10 · 7 ÷ 2 = 35 diagonais. Esquecer o ÷ 2 e responder 70 é o erro clássico.

Soma dos ângulos

De um vértice, as diagonais cortam o polígono em n − 2 triângulos. Cada um soma 180°, então:

S_i = (n − 2) · 180° S_e = 360°

• S_i — soma dos ângulos internos, em graus;
• S_e — soma dos ângulos externos (um por vértice), sempre 360°, qualquer que seja n.

Exemplo. Hexágono: (6 − 2) · 180° = 720°.

O 360° dos externos tem uma leitura intuitiva: quem anda pelo contorno do polígono e volta ao ponto de partida deu exatamente uma volta completa, somando as curvas de cada vértice.

Polígonos regulares

Um polígono é regular quando tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Aí cada ângulo é a soma dividida por n:

a_i = (n − 2) · 180° ÷ n a_e = 360° ÷ n

• a_i — cada ângulo interno, em graus;
• a_e — cada ângulo externo, em graus, com a_i + a_e = 180°.

Losango tem lados iguais mas ângulos diferentes; retângulo tem ângulos iguais mas lados diferentes. Nenhum dos dois é regular — o quadrilátero regular é só o quadrado.

Quadriláteros notáveis

Os quadriláteros formam uma hierarquia: todo quadrado é losango e retângulo, e todo losango e todo retângulo são paralelogramos. Por isso cada um herda as propriedades do de cima.

No paralelogramo, os lados opostos são iguais, os ângulos opostos são iguais e dois ângulos consecutivos somam 180° (são colaterais internos entre paralelas).

No trapézio, a base média — o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos — é paralela às bases e mede a média delas. No trapézio isósceles (lados não paralelos iguais), os ângulos de cada base são iguais e as diagonais também.

base média = (B + b) ÷ 2

• B, b — base maior e base menor, na mesma unidade.

Áreas

Todas as fórmulas vêm do retângulo. O paralelogramo vira retângulo quando você corta um triângulo de uma ponta e cola na outra; o triângulo é metade de um paralelogramo; o trapézio são dois triângulos.

• b, h — base e altura, perpendiculares entre si;
• ℓ — lado do quadrado;
• D, d — diagonal maior e menor do losango;
• B, b — bases do trapézio;
• comprimentos numa mesma unidade, área na unidade ao quadrado (cm², m²…).

Exemplo. Trapézio de bases 10 cm e 6 cm e altura 4 cm: (10 + 6) · 4 ÷ 2 = 32 cm².

Outras fórmulas para o triângulo

Nem sempre a questão dá a altura. Três alternativas:

Dois lados e o ângulo entre eles.

A = a · b · sen θ ÷ 2

• a, b — dois lados;
• θ — o ângulo entre eles.

Com lados 8 e 10 e ângulo de 30° entre eles: 8 · 10 · ½ ÷ 2 = 20.

Os três lados (fórmula de Herão).

A = √[p · (p − a) · (p − b) · (p − c)]

• a, b, c — os três lados;
• p — o semiperímetro, (a + b + c) ÷ 2.

Com lados 13, 14 e 15: p = 21 e A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84. Cuidado: p é o semiperímetro. Usar o perímetro inteiro dá um número sem sentido.

Triângulo equilátero de lado ℓ.

A = ℓ²√3 ÷ 4

Sai de base ℓ e altura ℓ√3 ÷ 2 (metade de um equilátero é um 30-60-90).

Hexágono regular

Ligando o centro de um hexágono regular aos seis vértices, aparecem seis triângulos equiláteros de lado igual ao do hexágono. A área é seis vezes a do equilátero:

A = 6 · ℓ²√3 ÷ 4 = 3ℓ²√3 ÷ 2

• ℓ — lado do hexágono.

Exemplo. Com ℓ = 4 cm: 3 · 16 · √3 ÷ 2 = 24√3 cm² ≈ 41,57 cm².

Para outros polígonos regulares vale a mesma ideia: corte em n triângulos isósceles a partir do centro. A altura de cada um, do centro ao meio do lado, é o apótema, e a área fica p · a, com p o semiperímetro e a o apótema.

Área por decomposição

Figura irregular se resolve cortando em peças conhecidas e somando — ou completando até uma figura conhecida e subtraindo o que sobra.

Os dois caminhos dão o mesmo resultado:

• Somando peças: 10 · 3 + 4 · 5 = 30 + 20 = 50;
• Completando e subtraindo: 10 · 8 − 6 · 5 = 80 − 30 = 50.

Quando nenhum corte dá peças exatas — um lago num mapa quadriculado, por exemplo — a saída é aproximar: conte os quadradinhos inteiros, some cerca de metade dos parciais, e multiplique pela área de um quadradinho. O Enem cobra esse raciocínio.

Onde se erra

• Esquecer o ÷ 2 das diagonais. Cada diagonal tem duas pontas.
• Usar lado inclinado como altura. A altura é sempre perpendicular à base.
• Esquecer o ÷ 2 no losango e no triângulo.
• Usar o perímetro inteiro em Herão. É o semiperímetro.
• Achar que tirar um pedaço do canto diminui o perímetro. Tirar um retângulo do canto de um retângulo diminui a área, mas o perímetro fica igual: os dois lados que saíram são trocados por dois lados do mesmo tamanho.

Onde isso aparece fora da prova

Orçamento de piso, de pintura e de telhado é área por decomposição: a planta de um cômodo em L vira dois retângulos, e o metro quadrado do material faz o resto. Colmeia é hexagonal porque, entre os polígonos que cobrem o plano sem buracos, o hexágono é o que cerca mais área com o mesmo perímetro — menos cera para a mesma quantidade de mel.

Exercícios

Básico

1. Quantas diagonais tem um octógono convexo?

2. Qual a soma dos ângulos internos de um decágono convexo?

3. Quanto mede cada ângulo interno e cada ângulo externo de um hexágono regular?

4. Um trapézio tem bases de 12 cm e 8 cm e altura de 5 cm. Calcule sua área e a medida da base média.

5. As diagonais de um losango medem 12 cm e 8 cm. Calcule a área e o lado do losango.

Intermediário

1. Cada ângulo interno de um polígono regular mede 150°. Quantos lados e quantas diagonais ele tem?

2. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1260°. Quantos lados ele tem?

3. Um polígono convexo tem o número de diagonais igual ao dobro do número de lados. Qual é esse polígono?

4. Num paralelogramo, dois ângulos consecutivos medem (2x + 20)° e (3x + 10)°. Determine x e os quatro ângulos do paralelogramo.

5. Um retângulo tem perímetro de 34 cm e diagonal de 13 cm. Determine seus lados e sua área.

6. Calcule a área de um hexágono regular de lado 6 cm. Dê a forma exata e o valor aproximado.

Avançado

1. Um triângulo tem lados de 5 cm, 5 cm e 6 cm. Calcule sua área pela fórmula de Herão e, com ela, a altura relativa ao lado de 6 cm. Confira essa altura por outro caminho.

2. Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 10 cm, e o ângulo entre eles mede 150°. Calcule a área do triângulo.

3. Um terreno tem a forma de um retângulo de 20 m por 15 m do qual foi retirado, num dos cantos, um retângulo de 8 m por 6 m. Calcule a área e o perímetro do terreno.

4. Um trapézio isósceles tem bases de 16 cm e 10 cm, e os lados não paralelos medem 5 cm cada. Calcule a altura, a área e a medida de uma diagonal.