Circunferência, círculo e transformações

Circunferência e círculo

A circunferência é a linha: todos os pontos a uma mesma distância r de um centro O. O círculo é a região limitada por ela. A diferença cai em prova: circunferência tem comprimento, círculo tem área.

• Raio — segmento do centro até a circunferência.
• Corda — segmento com as duas pontas na circunferência. O diâmetro é a corda que passa pelo centro, a maior de todas, e mede 2r.
• Arco — pedaço da circunferência entre dois pontos.
• Setor circular — a "fatia de pizza": região entre dois raios e o arco.

Posições relativas

Tudo se decide comparando uma distância com o raio.

2.1 Reta e circunferência

Seja d a distância do centro até a reta (medida na perpendicular):

2.2 Duas circunferências

Com raios R ≥ r e distância d entre os centros:

Exemplo. Raios 5 e 3. Com d = 8 = 5 + 3, são tangentes externas; com d = 2 = 5 − 3, tangentes internas; com d = 6, que está entre 2 e 8, são secantes.

Ângulos na circunferência

O ângulo central tem o vértice no centro e mede o mesmo que o arco que ele enxerga. O ângulo inscrito tem o vértice sobre a circunferência e mede metade do arco.

Consequências que caem direto:

• Todos os ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco são iguais.
• Ângulo inscrito que enxerga um diâmetro (arco de 180°) é reto. Todo triângulo inscrito com um lado sobre o diâmetro é retângulo.
• O ângulo entre uma tangente e uma corda (ângulo de segmento) também mede metade do arco que ele abraça.

Quando o vértice não está nem no centro nem na circunferência:

vértice dentro: α = (a + b) ÷ 2 vértice fora: α = (a − b) ÷ 2

• α — o ângulo formado, em graus;
• a, b — os dois arcos que os lados do ângulo interceptam, em graus, com a o maior.

Um quadrilátero inscrito numa circunferência tem ângulos opostos suplementares: cada par enxerga, juntos, a circunferência inteira (360°), e cada um mede metade do seu arco. Com  = 70°, o ângulo Ĉ é 110°.

Potência de ponto

Três situações, uma ideia só: por um ponto P, o produto das duas distâncias até a circunferência, medidas sobre a mesma reta, é constante.

cordas: PA · PB = PC · PD

secantes: PA · PB = PC · PD

tangente e secante: PT² = PA · PB

• PA, PB, PC, PD — distâncias de P até cada ponto de corte, na mesma unidade;
• PT — comprimento da tangente de P até o ponto de tangência.

Exemplo. De P fora, uma secante corta em A e B, com PA = 4 e PB = 9. A tangente mede PT = √(4 · 9) = √36 = 6.

Comprimento de arco e áreas

C = 2πr A = πr²

• r — raio;
• C — comprimento da circunferência, na unidade de r;
• A — área do círculo, na unidade de r ao quadrado;
• π ≈ 3,14.

Arco e setor são a fração da volta que o ângulo central representa:

ℓ = (α ÷ 360°) · 2πr A_setor = (α ÷ 360°) · πr²

• α — ângulo central, em graus;
• ℓ — comprimento do arco;
• A_setor — área do setor.

Com o ângulo em radianos, as fórmulas encurtam: ℓ = α · r e A_setor = α · r² ÷ 2.

Exemplo. Setor de 90° num círculo de raio 4 cm: área = ¼ · π · 16 = 4π cm² ≈ 12,56 cm²; arco = ¼ · 2π · 4 = 2π cm ≈ 6,28 cm.

Duas regiões derivadas:

• Coroa circular — o "anel" entre duas circunferências de mesmo centro: A = π(R² − r²). Não é π(R − r)².
• Segmento circular — a região entre uma corda e o arco: área do setor menos a área do triângulo formado pelos dois raios e a corda.

Polígonos inscritos

Um polígono regular inscrito numa circunferência de raio r tem lado e apótema (distância do centro ao meio do lado) fixos em função de r:

O do hexágono é o mais usado: seis triângulos equiláteros de lado r, então o lado do hexágono inscrito é igual ao raio.

Simetrias e transformações

Uma isometria move a figura sem deformar: comprimentos, ângulos e área ficam iguais. São três, e as composições delas:

• Translação — desliza a figura numa direção, sem girar.
• Reflexão — espelha a figura em relação a uma reta (o eixo).
• Rotação — gira a figura em torno de um ponto, por um ângulo.

Uma figura tem simetria de reflexão quando algum eixo a leva nela mesma, e simetria de rotação quando algum giro menor que 360° faz isso. O polígono regular de n lados tem n eixos de simetria e simetria de rotação de 360° ÷ n. O quadrado tem 4 eixos e volta a si mesmo a cada 90°.

A homotetia é a ampliação ou redução a partir de um centro, com razão k. Ela não é isometria: gera uma figura semelhante.

Exemplo. Ampliar uma foto 3 vezes em cada dimensão triplica o perímetro e multiplica a área por 9.

Pavimentações do plano

Uma pavimentação cobre o plano com peças, sem buracos e sem sobreposição. Com um único tipo de polígono regular, a condição é que os ângulos que se encontram num vértice fechem 360° — ou seja, o ângulo interno precisa dividir 360° exatamente.

Do heptágono em diante, o ângulo interno fica entre 120° e 180°: duas peças não chegam a 360° e três já passam. Por isso só triângulo, quadrado e hexágono pavimentam sozinhos. Misturando polígonos, aparecem outras combinações: dois octógonos e um quadrado fecham 135° + 135° + 90° = 360° — é o piso clássico de cozinha antiga.

Onde se erra

• Confundir circunferência com círculo. Uma é linha (comprimento), o outro é região (área).
• Usar o diâmetro na fórmula do raio. Leia se a questão deu r ou 2r.
• Dar ao ângulo inscrito o valor do arco. O inscrito é metade; o central é que é igual.
• Usar o pedaço interno na secante. A potência usa as distâncias a partir de P.
• Calcular a coroa como π(R − r)². É a diferença das áreas, π(R² − r²).
• Multiplicar a área por k numa ampliação. Área vai com k².

Onde isso aparece fora da prova

A área cresce com o quadrado do raio, e isso decide compra de pizza: uma pizza de 30 cm de diâmetro tem 225π cm², mais que duas de 20 cm juntas (200π cm²). Engrenagens e polias usam comprimento de arco para relacionar voltas e distância percorrida, e o calçamento de praças e pisos cerâmicos é a pavimentação desta aula aplicada — hexágonos, quadrados, ou octógonos com quadradinhos nos cantos.

Exercícios

Básico

1. Uma circunferência tem raio de 5 cm. Calcule seu comprimento e a área do círculo que ela limita. Use π = 3,14.

2. Uma circunferência tem raio de 6 cm. Classifique a posição de uma reta em relação a ela quando a distância do centro até a reta é (a) 4 cm; (b) 6 cm; (c) 9 cm.

3. Um arco de uma circunferência mede 110°. Quanto mede o ângulo central e quanto mede um ângulo inscrito que enxergam esse arco?

4. Num círculo de raio 6 cm, calcule a área de um setor de 60° e o comprimento do arco correspondente. Dê a forma exata e o valor com π = 3,14.

5. Quantos eixos de simetria tem um hexágono regular? Qual o menor ângulo de rotação, em torno do centro, que leva o hexágono nele mesmo?

Intermediário

1. Duas circunferências têm raios de 7 cm e 3 cm. Classifique a posição relativa delas quando a distância entre os centros é (a) 10 cm; (b) 6 cm; (c) 4 cm; (d) 2 cm.

2. Duas cordas AB e CD de uma circunferência se cortam no ponto P. Sabe-se que PA = 4 cm, PB = 6 cm e PC = 3 cm. Calcule PD.

3. De um ponto P externo a uma circunferência traçam-se uma tangente, que toca a circunferência em T, e uma secante, que a corta em A e B, com A entre P e B. Se PA = 3 cm e AB = 9 cm, quanto mede PT?

4. O quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência, com  = 70° e B̂ = 95°. Calcule Ĉ e D̂.

5. Calcule a área de uma coroa circular limitada por circunferências concêntricas de raios 10 cm e 6 cm. Use π = 3,14.

6. Um hexágono regular está inscrito numa circunferência de raio 8 cm. Calcule o lado e o perímetro do hexágono, e a área da região do círculo que fica fora do hexágono. Use π = 3,14 e √3 = 1,73.

Avançado

1. (a) De um ponto P externo, duas secantes interceptam na circunferência um arco de 100° (o mais distante de P) e um arco de 30° (o mais próximo). Calcule o ângulo formado em P. (b) Duas cordas se cruzam dentro de uma circunferência, e os arcos interceptados pelo ângulo e pelo seu oposto pelo vértice medem 80° e 40°. Calcule esse ângulo.

2. Num círculo de raio 6 cm, a corda AB determina um ângulo central de 90°. Calcule a área do segmento circular limitado pela corda AB e pelo arco menor AB. Use π = 3,14.

3. Uma foto retangular de 10 cm por 15 cm é ampliada por uma homotetia de razão 3. Calcule as novas dimensões, o novo perímetro e a nova área, e diga por quanto cada um foi multiplicado.

4. Uma pizzaria vende a pizza grande com 40 cm de diâmetro e a brotinho com 20 cm. Pelo mesmo preço, o cliente pode levar uma grande ou quatro brotinhos. Compare a quantidade de pizza (área) e a quantidade de borda (comprimento) nas duas opções.

5. (a) Entre o triângulo equilátero, o pentágono regular, o hexágono regular e o octógono regular, quais pavimentam o plano sozinhos? Justifique. (b) Octógonos regulares e quadrados pavimentam o plano juntos. Quantos de cada se encontram em cada vértice?