Objetivos da aula
- Contar vértices, arestas e faces de um poliedro e usar a relação de Euler.
- Ler um sólido pela sua planificação.
- Calcular área e volume de prismas, com atenção especial ao paralelepípedo e ao cubo.
- Achar altura, apótema e aresta lateral de uma pirâmide pelos triângulos retângulos escondidos nela.
- Calcular o volume de um tronco de pirâmide.
- Converter m³, dm³ e cm³ em litros sem errar o fator.
Poliedros
Um poliedro é um sólido limitado só por polígonos planos. Esses polígonos são as faces; os lados onde duas faces se encontram são as arestas; os pontos onde as arestas se encontram são os vértices. Cubo e pirâmide são poliedros; cilindro, cone e esfera não, porque têm superfície curva.
O poliedro é convexo quando não tem "reentrâncias": qualquer segmento ligando dois pontos dele fica inteiro dentro. Quase tudo que cai em prova é convexo.
Existem só cinco poliedros regulares (os de Platão), em que todas as faces são o mesmo polígono regular e todo vértice recebe o mesmo número de arestas:
| Poliedro | Faces | V | A | F |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triângulos | 4 | 6 | 4 |
| Hexaedro (cubo) | quadrados | 8 | 12 | 6 |
| Octaedro | triângulos | 6 | 12 | 8 |
| Dodecaedro | pentágonos | 20 | 30 | 12 |
| Icosaedro | triângulos | 12 | 30 | 20 |
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo, vértices, arestas e faces obedecem a:
V − A + F = 2
- V — número de vértices;
- A — número de arestas;
- F — número de faces.
Confira na tabela acima: no cubo, 8 − 12 + 6 = 2.
Quase sempre a questão dá as faces e pede o resto. O caminho é contar as arestas pelos lados das faces: some os lados de todas as faces e divida por 2, porque cada aresta é lado de exatamente duas faces.
A = (soma dos lados de todas as faces) ÷ 2
2.1 Exemplo resolvido
O icosaedro tem 20 faces triangulares. Quantas arestas e quantos vértices ele tem?
A = 20 · 3 ÷ 2 = 30
V = 2 + A − F = 2 + 30 − 20 = 12
O ÷ 2 das arestas
Contar 20 · 3 = 60 arestas é o erro clássico desta parte. Cada aresta foi contada duas vezes, uma por face vizinha. Se o valor de V sair negativo ou fracionário, a conta de arestas está errada — ou o poliedro descrito não existe.
Planificações
A planificação é o sólido "desmontado" e aberto sobre o plano, com as faces ligadas pelas arestas. Serve para duas coisas: a área total do sólido é a área da planificação, e muita questão do Enem pergunta qual molde, dobrado, fecha em qual caixa.
Para testar um molde de cubo, escolha uma face como base e dobre mentalmente as vizinhas para cima. Duas faces que caem no mesmo lugar indicam que o molde não fecha. O cubo tem 11 planificações diferentes; o formato em cruz é só a mais conhecida.
Prismas
Um prisma tem duas bases iguais e paralelas, ligadas por faces laterais que são paralelogramos. Ele é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases (as faces laterais viram retângulos) e regular quando, além de reto, tem base num polígono regular. O nome vem da base: prisma triangular, quadrangular, hexagonal.
At = Al + 2 · Ab V = Ab · h
- Ab — área de uma base, em unidade de área (cm², m²…);
- Al — área lateral, a soma das faces laterais; no prisma reto, é o perímetro da base vezes a altura;
- At — área total;
- h — altura, a distância entre as bases;
- V — volume, em unidade de volume (cm³, m³…).
A fórmula do volume é a mesma para qualquer prisma, e até para o cilindro: área da base vezes altura. Ela vale também para prisma oblíquo, desde que h seja a altura de verdade (perpendicular às bases), não a aresta lateral inclinada.
Exemplo. Prisma hexagonal regular com aresta da base 2 cm e altura 5 cm. A base é um hexágono regular (seis equiláteros): Ab = 3 · 22 · √3 ÷ 2 = 6√3 cm². Então V = 6√3 · 5 = 30√3 cm³ ≈ 51,96 cm³, e a área lateral são seis retângulos 2 × 5: Al = 60 cm².
4.1 Paralelepípedo e cubo
O paralelepípedo retângulo (o formato de caixa de sapato) é o prisma com as seis faces retangulares. O cubo é o caso em que as três dimensões são iguais.
V = a · b · c At = 2 · (ab + ac + bc)
D = √(a2 + b2 + c2)
- a, b, c — as três dimensões (comprimento, largura e altura), na mesma unidade;
- D — a diagonal do sólido, de um vértice ao oposto, passando por dentro.
A fórmula da diagonal é Pitágoras aplicado duas vezes: na base, d2 = a2 + b2; depois, no triângulo em pé da figura, D2 = d2 + c2.
No cubo de aresta a, tudo simplifica:
V = a3 At = 6a2 D = a√3
Exemplo. Caixa de 3 cm × 4 cm × 12 cm: V = 144 cm³, At = 2 · (12 + 36 + 48) = 192 cm² e D = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm. É por isso que um lápis de 13 cm cabe inclinado numa caixa em que nenhuma dimensão passa de 12.
Pirâmides
A pirâmide tem uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram num ponto só, o vértice. Ela é regular quando a base é um polígono regular e o vértice fica exatamente acima do centro da base.
V = Ab · h ÷ 3
- Ab — área da base;
- h — altura, do vértice até o plano da base, na perpendicular;
- V — volume.
O ÷ 3 não é detalhe: uma pirâmide ocupa exatamente um terço do prisma de mesma base e mesma altura. Um prisma triangular pode ser cortado em três pirâmides de mesmo volume — é daí que vem o fator.
5.1 Os triângulos retângulos da pirâmide regular
Numa pirâmide regular aparecem três medidas que a questão costuma misturar:
- h — a altura da pirâmide;
- m — o apótema da base, do centro da base até o meio de um lado;
- g — o apótema da pirâmide, a altura de uma face lateral, do vértice até o meio de um lado da base.
As três formam um triângulo retângulo com hipotenusa g. Outro triângulo retângulo liga a altura, o raio da base (R, do centro até um vértice da base) e a aresta lateral ℓ:
g2 = h2 + m2 ℓ2 = h2 + R2
A área lateral é a soma das faces triangulares, cada uma com base igual ao lado da base e altura g.
5.2 Exemplo resolvido
Pirâmide quadrangular regular com aresta da base 6 cm e altura 4 cm. Calcule o apótema da pirâmide, a área total e o volume.
O apótema da base é metade do lado: m = 3. Então:
g = √(42 + 32) = √25 = 5 cm
Al = 4 · (6 · 5 ÷ 2) = 60 cm² At = 60 + 36 = 96 cm²
V = 36 · 4 ÷ 3 = 48 cm³
O erro mais comum aqui é usar a altura h = 4 como altura das faces laterais. A face está inclinada; a altura dela é g = 5.
Tronco de pirâmide
Cortando uma pirâmide por um plano paralelo à base, a parte de baixo é um tronco de pirâmide, com duas bases paralelas e semelhantes. O volume tem fórmula própria:
V = h · (AB + √(AB · Ab) + Ab) ÷ 3
- AB — área da base maior;
- Ab — área da base menor;
- h — altura do tronco, a distância entre as bases.
Se não lembrar da fórmula, há o caminho seguro: reconstrua a pirâmide inteira, calcule o volume dela e subtraia o da pirâmide pequena que foi cortada fora.
6.1 Exemplo resolvido
Tronco de pirâmide quadrangular com bases de lado 6 cm e 3 cm e altura 4 cm.
V = 4 · (36 + √(36 · 9) + 9) ÷ 3 = 4 · (36 + 18 + 9) ÷ 3 = 4 · 63 ÷ 3 = 84 cm³
Conferindo pela subtração: a base menor tem metade do lado da maior, então o corte foi feito na metade da altura da pirâmide inteira. A pirâmide inteira tem altura 8 e a pequena, 4:
36 · 8 ÷ 3 − 9 · 4 ÷ 3 = 96 − 12 = 84 cm³
Volume e capacidade
Capacidade é volume medido em litros. A ponte entre as duas unidades é uma só, e dela sai o resto:
1 dm3 = 1 L 1 m3 = 1000 L 1 cm3 = 1 mL
O fator de volume é 1000, não 10
Um metro tem 10 decímetros, mas um metro cúbico tem 10 · 10 · 10 = 1000 decímetros cúbicos. Em área o fator entre unidades vizinhas é 100; em volume, 1000. Quem converte volume com fator 10 erra a questão por duas casas decimais.
Exemplo. Uma caixa-d'água de 2 m × 1,5 m × 1 m tem volume de 3 m³, ou seja, 3000 L.
O truque mais seguro é converter as dimensões para decímetro antes de multiplicar: 20 dm × 15 dm × 10 dm = 3000 dm³ = 3000 L, sem nenhum fator para lembrar.
Onde se erra
- Esquecer o ÷ 2 ao contar arestas. Cada aresta pertence a duas faces.
- Esquecer o ÷ 3 da pirâmide. Pirâmide é um terço do prisma.
- Trocar altura da pirâmide por apótema. Volume usa h; área lateral usa g.
- Somar só uma base na área total do prisma. São duas.
- Converter m³ em dm³ multiplicando por 10. O fator é 1000.
- Usar a aresta lateral de um prisma oblíquo como altura. A altura é perpendicular às bases.
Onde isso aparece fora da prova
Consumo de água é medido em metro cúbico na conta, mas a caixa-d'água é vendida em litros — a conversão por 1000 é a que decide se uma caixa de 1000 L basta para uma casa. Embalagem é planificação: toda caixa de papelão sai de um molde plano, e o custo do material é a área total do sólido. As pirâmides do Egito e os telhados de quatro águas são pirâmides quadrangulares, e o volume de concreto de um pilar de fundação em forma de tronco de pirâmide se calcula exatamente pela fórmula desta aula.
Exercícios
Básico
Um cubo tem aresta de 5 cm. Calcule sua área total, seu volume e sua diagonal.
Um paralelepípedo retângulo tem dimensões 2 cm, 3 cm e 6 cm. Calcule o volume, a área total e a diagonal.
Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 vértices. Quantas arestas ele tem?
Uma caixa-d'água tem a forma de um paralelepípedo de 1,2 m de comprimento, 1 m de largura e 0,8 m de altura. Quantos litros ela comporta?
Uma pirâmide tem base quadrada de lado 6 cm e altura de 10 cm. Calcule seu volume.
Intermediário
Um poliedro convexo tem 6 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Quantas arestas e quantos vértices ele tem?
Um prisma triangular regular tem aresta da base de 4 cm e altura de 10 cm. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume. Use √3 ≈ 1,732.
Um prisma hexagonal regular tem aresta da base de 4 cm e altura de 10 cm. Calcule a área lateral e o volume. Use √3 ≈ 1,732.
Uma pirâmide quadrangular regular tem aresta da base de 8 cm e altura de 3 cm. Calcule o apótema da pirâmide, a área lateral, a área total e o volume.
Um aquário tem base retangular de 50 cm por 30 cm e 40 cm de altura, e contém água até 30 cm de altura. Quantos litros de água há nele? Colocando-se uma pedra, que fica totalmente submersa, o nível sobe 2 cm. Qual o volume da pedra, em litros?
Um cubo tem área total de 96 cm². Calcule a aresta, o volume e a diagonal desse cubo.
Avançado
Um tronco de pirâmide quadrangular regular tem bases de lado 8 cm e 4 cm e altura de 6 cm. Calcule seu volume pela fórmula do tronco e confira pela diferença entre duas pirâmides.
Um tetraedro regular tem aresta de 6 cm. Calcule sua altura e seu volume. (A projeção do vértice sobre a base cai no centro do triângulo equilátero da base, a uma distância de a√3 ÷ 3 de cada vértice da base, sendo a a aresta.)
De uma folha de papelão retangular de 30 cm por 20 cm, recorta-se um quadrado de 5 cm de lado em cada canto. Dobrando as abas para cima, forma-se uma caixa sem tampa. Calcule as dimensões da caixa e sua capacidade, em litros.
A bola de futebol clássica é um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Quantas arestas e quantos vértices ele tem? Confira o resultado sabendo que em cada vértice se encontram exatamente 3 arestas.