Ângulos, retas e triângulos

Os elementos que você vai usar o tempo todo

Geometria plana começa com quatro objetos e uma diferença entre eles que cai em prova: reta não tem começo nem fim, semirreta tem começo e não tem fim, segmento tem os dois, e ângulo é a abertura entre duas semirretas de mesma origem.

Essa origem comum é o vértice do ângulo. A medida do ângulo não depende do tamanho do desenho: duas semirretas abrindo 30° continuam abrindo 30° se você ampliar a figura dez vezes. Guarde isso — é a ideia que sustenta semelhança de triângulos mais adiante.

A unidade usual é o grau, com a volta completa valendo 360°. Cada grau tem 60 minutos (60′) e cada minuto tem 60 segundos (60″), então 32,5° = 32°30′. Em contas com minutos, converta tudo para grau decimal antes de somar; misturar 30′ com 0,30° é um erro comum e caro.

Pares de ângulos

Três relações resolvem quase toda questão de ângulo isolado:

• Complementares — somam 90°. O complemento de x é 90° − x.
• Suplementares — somam 180°. O suplemento de x é 180° − x.
• Opostos pelo vértice (OPV) — formados por duas retas que se cruzam, um de frente para o outro. São iguais.

Quando duas retas se cruzam, aparecem quatro ângulos: os dois pares opostos são iguais, e dois ângulos vizinhos são suplementares. Ou seja, basta saber um deles para saber os quatro.

2.1 Exemplo resolvido

Um ângulo mede o dobro do seu suplemento. Quanto ele mede?

x = 2 · (180° − x)

x = 360° − 2x ⟹ 3x = 360° ⟹ x = 120°

Conferindo: o suplemento de 120° é 60°, e 120 é o dobro de 60. Fecha.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Duas retas paralelas cortadas por uma terceira reta — a transversal — formam oito ângulos. Só existem dois valores entre eles: um agudo e um obtuso, suplementares entre si (a não ser que a transversal seja perpendicular, quando todos valem 90°).

3.1 Exemplo resolvido: o zigue-zague

Este é o formato que mais aparece em prova, e ele parece impossível até você traçar uma linha a mais.

Trace por P uma reta paralela a r e s. Ela parte o ângulo AP̂B em dois pedaços:

• o de cima vale 35°, por ser alterno interno do ângulo em A;
• o de baixo vale 25°, por ser alterno interno do ângulo em B.

AP̂B = 35° + 25° = 60°

A regra que sai daí: bico apontando para um lado, os ângulos se somam. Se o ponto estivesse fora da faixa entre as paralelas, eles se subtrairiam.

Triângulos: como se classificam

O triângulo é a figura mais cobrada da geometria plana inteira, e por um motivo prático: todo polígono pode ser cortado em triângulos, então o que vale para ele acaba valendo para os outros.

Pelos lados:

• Equilátero — três lados iguais; os três ângulos medem 60°.
• Isósceles — dois lados iguais; os ângulos opostos a eles (os da base) também são iguais.
• Escaleno — três lados diferentes, três ângulos diferentes.

Pelos ângulos: acutângulo (três agudos), retângulo (um reto) e obtusângulo (um obtuso). Note que "dois ângulos obtusos" é impossível — eles já passariam de 180° sozinhos.

Soma dos ângulos e ângulo externo

Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é 180°:

 + B̂ + Ĉ = 180°

O ângulo externo é o formado por um lado e o prolongamento de outro. Ele é o suplemento do interno daquele mesmo vértice — e vale um resultado mais útil que isso:

A prova cabe em duas linhas: e + B̂ = 180° porque são suplementares, e  + B̂ + Ĉ = 180° pela soma dos internos. Igualando as duas somas e cortando B̂, sobra e =  + Ĉ.

5.1 Exemplo resolvido

Num triângulo ABC, Â = 50° e B̂ = 60°. Quanto mede o ângulo externo em C?

Pelo teorema: e = 50° + 60° = 110°.

Conferindo pelo caminho longo: Ĉ = 180° − 50° − 60° = 70°, e o externo é 180° − 70° = 110°. Mesmo valor.

Quando três medidas formam um triângulo

Nem todo trio de comprimentos fecha um triângulo. Dois lados curtos demais não se alcançam sobre o terceiro.

• a, b — os dois lados conhecidos, na mesma unidade;
• x — o lado procurado, na mesma unidade.

Exemplo. Dois lados medem 8 cm e 3 cm. Então |8 − 3| < x < 8 + 3, ou seja, 5 < x < 11. Se a questão pedir valores inteiros, são 6, 7, 8, 9 e 10 — cinco valores. O erro clássico aqui é incluir os extremos: com x = 5 ou x = 11 os três pontos ficam alinhados e o triângulo tem área zero, então as desigualdades são estritas.

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes quando têm os três lados e os três ângulos respectivamente iguais — em outras palavras, quando um é cópia exata do outro, ainda que girado ou refletido. Escreve-se △ABC ≅ △DEF, e a ordem das letras importa: ela diz qual vértice corresponde a qual.

A graça é que não é preciso verificar os seis elementos. Três bem escolhidos bastam:

Não existe caso "LLA" com o ângulo fora dos dois lados: com dois lados e um ângulo que não está entre eles é possível montar dois triângulos diferentes. A única exceção é o triângulo retângulo, em que hipotenusa e um cateto iguais já garantem congruência — porque o terceiro lado fica determinado por Pitágoras.

7.1 Exemplo resolvido

No triângulo isósceles ABC, com AB = AC, o ponto M é o ponto médio de BC. Mostre que AM é bissetriz do ângulo Â.

Compare △ABM e △ACM:

• AB = AC, por hipótese;
• BM = CM, porque M é ponto médio;
• AM é lado comum aos dois.

Três lados iguais: pelo caso LLL, os triângulos são congruentes. Logo os ângulos correspondentes BÂM e CÂM são iguais, e AM é bissetriz. De quebra, AM̂B = AM̂C; como esses dois somam 180°, cada um vale 90°, então AM também é altura. No isósceles, a mediana, a bissetriz e a altura que saem do vértice são a mesma reta.

Cevianas e pontos notáveis

Uma ceviana é um segmento que vai de um vértice até o lado oposto. As quatro que interessam vêm em trios, e cada trio se encontra num ponto:

Dois desses pontos têm propriedade cobrada direto:

• O baricentro divide cada mediana na razão 2 : 1, contando do vértice. Se a mediana toda mede 18 cm, o pedaço do vértice até G mede 12 cm e o restante, 6 cm.
• O incentro é o centro da circunferência inscrita (a que tangencia os três lados por dentro); o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (a que passa pelos três vértices).

Baricentro e incentro estão sempre dentro do triângulo. Circuncentro e ortocentro só ficam dentro se o triângulo for acutângulo: no retângulo, o circuncentro cai no meio da hipotenusa e o ortocentro no vértice do ângulo reto; no obtusângulo, os dois saem para fora da figura.

8.1 Exemplo resolvido: o ângulo do incentro

Num triângulo ABC, as bissetrizes internas de B̂ e Ĉ se cruzam em I. Se  = 80°, quanto mede BÎC?

Como  = 80°, sobra B̂ + Ĉ = 100°. No triângulo BIC aparecem as metades desses ângulos, que somam 50°. Então:

BÎC = 180° − 50° = 130°

Repetindo a conta com  genérico, sai a fórmula que vale sempre:

BÎC = 90° + Â ÷ 2

Onde se erra

• Trocar complemento por suplemento. Complemento fecha o ângulo reto (90°), suplemento fecha o raso (180°).
• Somar os extremos na desigualdade triangular. As desigualdades são estritas: 5 e 11 não entram na faixa 5 < x < 11.
• Usar LLA como se fosse caso de congruência. Não é. O ângulo tem que estar entre os dois lados (LAL).
• Inverter a razão do baricentro. O pedaço maior, de 2 partes, é o que encosta no vértice.
• Aceitar como iguais dois ângulos de paralelas que abrem para lados opostos. Esses são suplementares. Na dúvida, some: se der 180°, você acertou o par.
• Confiar no desenho. Figura de prova quase nunca está em escala. Dois lados que parecem iguais só são iguais se o enunciado ou a marcação disser.

Onde isso aparece fora da prova

A congruência por LLL é o motivo de o triângulo ser a única figura rígida: fixados os três lados, não há como deformá-lo. Por isso treliça de telhado, braço de guindaste e estrutura de ponte são feitos de triângulos, enquanto um quadrilátero de mesmo material "desmonta" para um losango sob carga lateral.

O circuncentro resolve o problema de achar um ponto equidistante de três locais — é assim que se escolhe a posição de uma antena que precisa atender três cidades, ou de um posto de socorro entre três pontos de uma rodovia.

Exercícios

Básico

1. Um ângulo mede 37°. Determine a medida do seu complemento e a do seu suplemento.

2. Um ângulo é igual ao triplo do seu complemento. Determine a medida desse ângulo.

3. Duas retas se cruzam num ponto. Um dos quatro ângulos formados mede (3x + 10)° e o ângulo oposto pelo vértice a ele mede (x + 50)°. Determine x e as medidas dos quatro ângulos.

4. As retas r e s são paralelas e a reta t corta as duas. Dois ângulos colaterais internos formados medem (3x + 20)° e (2x + 10)°. Determine x e a medida de cada um deles.

5. Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a 1, 2 e 3. Determine os três ângulos e classifique o triângulo quanto aos ângulos.

Intermediário

1. Num triângulo ABC, Â = 50° e B̂ = 60°. Calcule a medida do ângulo externo no vértice C e a do ângulo externo no vértice A.

2. Dois lados de um triângulo medem 7 cm e 12 cm, e o terceiro lado tem medida inteira, em centímetros. Quantos valores esse terceiro lado pode assumir? Qual é o maior perímetro possível?

3. No triângulo isósceles ABC, com AB = AC, o ângulo  mede 40°. Calcule os ângulos da base e o ângulo externo no vértice B.

4. Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um dos ângulos agudos formados mede (4x − 10)° e um dos ângulos obtusos mede (6x + 30)°. Determine x e as medidas dos dois ângulos.

5. Num triângulo isósceles, o ângulo oposto à base excede em 30° a medida de cada ângulo da base. Determine os três ângulos internos.

6. Num triângulo ABC, G é o baricentro. A mediana AM mede 18 cm e a mediana BN mede 15 cm. Determine AG, GM e BG.

Avançado

1. Num triângulo ABC, o ângulo externo no vértice A mede 130° e B̂ = 45°. Determine  e Ĉ e classifique o triângulo quanto aos ângulos.

2. Num triângulo ABC, as bissetrizes internas dos ângulos B̂ e Ĉ encontram-se no ponto I. Sabendo que  = 80°, calcule BÎC. Em seguida, refaça a conta com  genérico e mostre que BÎC = 90° +  ÷ 2.

3. Num triângulo ABC, B̂ = 70° e Ĉ = 30°. Do vértice A traçam-se a altura AH e a bissetriz AS, com H e S sobre o lado BC. Calcule o ângulo HÂS.

4. No triângulo ABC tem-se AB = AC. Sobre o lado AB marca-se o ponto D e sobre o lado AC marca-se o ponto E, de modo que AD = AE. Prove que BE = CD.