Logaritmos

Objetivos da aula

Calcular logaritmos pela definição e verificar quando eles existem.
Aplicar as propriedades operatórias e a mudança de base.
Reconhecer o gráfico, o domínio e a imagem da função logarítmica.
Resolver equações e inequações logarítmicas, descartando raiz estranha.

O que é um logaritmo

O logaritmo responde a uma pergunta só: a que expoente preciso elevar a base para chegar neste número? É a operação que desfaz a exponencial.

log_b(a) = x ⟺ b^x = a

b — a base, com b > 0 e b ≠ 1;
a — o logaritmando, com a > 0;
x — o logaritmo, que é o expoente procurado. Não tem unidade: é um número puro, mesmo quando a tem unidade.

As duas escritas dizem a mesma coisa. Quando travar numa questão, passe da forma logarítmica para a exponencial — quase sempre o problema se resolve ali.

Exemplo. log₂(32) pergunta: 2 elevado a quanto dá 32? Como 2⁵ = 32, o logaritmo é 5.

Quando a base é 10, ela costuma ser omitida: log(1000) significa log₁₀(1000) = 3. É o logaritmo decimal, o da calculadora.

Condições de existência

As três restrições da definição não são decoração — cada uma barra um caso impossível, e é delas que sai metade das questões do assunto.

Por que cada condição existe

a > 0. Como b^x é sempre positivo, nenhum expoente faz b^x dar −4 ou 0. Logo não existe logaritmo de número negativo nem de zero.
b > 0. Com base negativa a potência salta de sinal (−2)¹ = −2, (−2)² = 4, e expoentes fracionários nem existem.
b ≠ 1. Como 1^x = 1 para todo x, a base 1 só alcançaria o número 1 — e aí com infinitos expoentes ao mesmo tempo.

Em questão com incógnita na base, as três valem simultaneamente. Para que exista log_x−2(10 − x) é preciso x − 2 > 0, x − 2 ≠ 1 e 10 − x > 0 — ou seja, 2 < x < 10 com x ≠ 3.

Os que você calcula de cabeça

Saem direto da definição, e aparecem no meio de contas maiores:

Expressão	Valor	Por quê
log_b(1)	0	`b`⁰ = 1 para qualquer base
log_b(b)	1	`b`¹ = `b`
log_b(bⁿ)	`n`	o expoente já está escrito
b^log_b(a)	`a`	uma operação desfaz a outra

A última linha é a que mais economiza tempo: 5^log₅(7) = 7 sem nenhuma conta. Elevar à base e tirar o logaritmo na mesma base se cancelam, como raiz e quadrado.

As propriedades operatórias

São três, e todas vêm das propriedades de potência — logaritmo é expoente, e expoente se soma quando a potência se multiplica.

log_b(m · n) = log_b(m) + log_b(n)

log_b(m ÷ n) = log_b(m) − log_b(n)

log_b(mⁿ) = n · log_b(m)

m, n — números positivos, pela condição de existência;
b — a base, a mesma nas três parcelas. Propriedade só vale entre logaritmos de bases iguais.

A terceira serve para raiz também, porque raiz é potência fracionária: log(√m) = ½ · log(m).

Os três erros que mais derrubam

log(m + n) não é log m + log n. A propriedade vale para produto, não para soma. Não existe regra para o logaritmo de uma soma.
log m ÷ log n não é log(m ÷ n). O quociente vira subtração; divisão de dois logaritmos é outra coisa — é mudança de base.
(log m)² não é log(m²). No segundo caso o expoente está dentro, e sai multiplicando; no primeiro está fora, e não sai.

4.1 Exemplo resolvido

Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule log 12 e log 5.

Quebre o logaritmando em fatores que você já tem:

log 12 = log(2² · 3) = 2 · log 2 + log 3 = 0,60 + 0,48 = 1,08

Para o 5, o truque é escrevê-lo como 10 ÷ 2, porque log 10 = 1:

log 5 = log(10 ÷ 2) = 1 − 0,30 = 0,70

Esse par — log 2 e log 5 somando 1 — aparece em quase toda questão que dá log 2 e pede outra coisa.

Mudança de base

A calculadora só tem base 10 e base e. Para qualquer outra:

log_b(a) = log_c(a) ÷ log_c(b)

c — a nova base, qualquer uma que sirva, desde que c > 0 e c ≠ 1.

Numerador é o logaritmando, denominador é a base antiga. Trocar a ordem é o deslize mais comum, e o resultado sai invertido.

Ela também serve para somar logaritmos de bases diferentes, que sem isso não se combinam. E dela sai um caso útil:

log_b(a) = 1 ÷ log_a(b)

5.1 Exemplo resolvido

Calcule log₈(32).

Nem precisa de calculadora: 8 e 32 são potências de 2, então mude para a base 2.

log₈(32) = log₂(32) ÷ log₂(8) = 5 ÷ 3 = 5/3

Conferindo: 8^5/3 = (2³)^5/3 = 2⁵ = 32. Fecha.

Logaritmo natural e cologaritmo

O logaritmo natural é o de base e ≈ 2,718, o número de Euler. Escreve-se ln:

ln(a) = log_e(a)

Ele não tem propriedade nenhuma a mais: é um logaritmo comum, de base estranha. Aparece sempre que o crescimento ou o decaimento é contínuo, escrito como e^kt — população, meia-vida, juros contínuos, resfriamento.

Dois valores que a prova costuma fornecer: ln 2 ≈ 0,693 e ln 10 ≈ 2,303.

O cologaritmo é só o oposto do logaritmo:

colog_b(a) = − log_b(a)

Existe por causa de uma aplicação: o pH é o cologaritmo da concentração de íons H⁺, e sem o sinal de menos ele seria sempre negativo.

A função logarítmica

f(x) = log_b(x), com b > 0 e b ≠ 1

O domínio já está decidido pela condição de existência: D = (0, +∞). E como todo expoente real é permitido, a imagem é ℝ — exatamente o contrário da exponencial, que tem domínio ℝ e imagem (0, +∞). Isso não é coincidência: uma é a inversa da outra.

Figura 1. Base 2 (linha cheia, crescente) e base ½ (tracejada, decrescente). As duas cortam o eixo horizontal no mesmo ponto marcado, x = 1, porque log_b(1) = 0 em qualquer base. O eixo vertical é assíntota: a curva se aproxima dele sem nunca tocá-lo, já que x = 0 está fora do domínio.

Três leituras que resolvem questão de gráfico sem conta:

b > 1 — função crescente;
0 < b < 1 — função decrescente;
o gráfico nunca toca nem cruza o eixo vertical, e não existe à esquerda dele.

Repare como a curva cresce devagar: de x = 4 para x = 8 o logaritmo sobe só 1, embora o x tenha dobrado. É essa lentidão que faz o logaritmo ser usado para comprimir escalas gigantes, como se vê no fim da aula.

Equações logarítmicas

A estratégia é sempre a mesma: reduzir os dois lados a um logaritmo só, na mesma base, e então tirar os logaritmos. Duas formas aparecem:

log_b(algo) = número — passe para a forma exponencial;
log_b(algo) = log_b(outro algo) — iguale os logaritmandos.

Verificar não é opcional

Aplicar as propriedades pode criar solução que não serve. Em log x + log(x − 3), o domínio exige x > 3; mas ao juntar em log[x(x − 3)], o produto fica positivo também para x negativo — e a equação passa a aceitar uma raiz que a original proibia.

Por isso: ache o domínio antes de resolver, e descarte no fim toda raiz que cair fora dele. É a raiz estranha, e é a pegadinha mais frequente do assunto.

8.1 Exemplo resolvido

Resolva log₂(x + 1) + log₂(x − 1) = 3.

Domínio primeiro: x + 1 > 0 e x − 1 > 0, ou seja x > 1.

log₂[(x + 1)(x − 1)] = 3 ⟹ x² − 1 = 2³ = 8

x² = 9 ⟹ x = 3 ou x = −3

O −3 está fora do domínio e vai fora. Sobra x = 3.

Conferindo na equação original: log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3. Fecha.

Inequações logarítmicas

Tudo igual às equações, com um passo a mais que decide a questão inteira:

A base manda no sinal

b > 1 — a função é crescente, e a desigualdade mantém o sentido: log_b(m) > log_b(n) ⟹ m > n.
0 < b < 1 — a função é decrescente, e a desigualdade inverte: log_b(m) > log_b(n) ⟹ m < n.

Olhe para a base antes de tirar os logaritmos. Quem esquece a inversão erra a questão inteira, mesmo com toda a álgebra certa.

E a resposta final é sempre a interseção entre o que a desigualdade deu e o domínio — nunca só o primeiro.

9.1 Exemplo resolvido

Resolva log_1/2(x − 3) ≥ −2.

Domínio: x − 3 > 0, ou seja x > 3.

Escreva o −2 como logaritmo da mesma base: (½)⁻² = 4, então −2 = log_1/2(4).

log_1/2(x − 3) ≥ log_1/2(4)

Base entre 0 e 1, logo inverte:

x − 3 ≤ 4 ⟹ x ≤ 7

Cruzando com o domínio: 3 < x ≤ 7.

Onde o logaritmo aparece

Sempre que uma grandeza varia por fatores de 10 ou de 2, e não por somas. O logaritmo comprime essa escala para números que cabem num gráfico.

pH — pH = −log[H⁺], com a concentração em mol/L. Cada unidade de pH a menos significa concentração dez vezes maior: um refrigerante de pH 3 é cem vezes mais ácido que um café de pH 5.
Escala Richter — de 6 para 8 não é "um terço a mais": é cem vezes mais amplitude, e cerca de mil vezes mais energia liberada.
Decibel — o ouvido responde a razões, não a diferenças, e a escala acompanha: +10 dB é dez vezes mais intensidade.
Meia-vida e datação por carbono-14 — o decaimento é contínuo, então o tempo sai por ln.

Em todas, a pergunta de prova é a mesma: quantas vezes uma medida é maior que a outra. Diferença na escala logarítmica vira razão na grandeza original.

Exercícios

Calcule, pela definição: log₂(32), log₃(1/9), log₅(1) e log(0,001).
Determine os valores de x para os quais existe o logaritmo log_x−2(10 − x).
Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule log 12, log 1,5 e log √6.
Calcule log₈(32) sem usar calculadora.
Resolva a equação log₃(2x − 1) = 2.
Determine o domínio da função f(x) = log₂(x² − 5x + 6).
Resolva a equação log x + log(x − 3) = 1.
Resolva a inequação log_1/3(x − 1) > 2.
Resolva a equação log₂(x) + log₄(x) = 6.
Um isótopo radioativo decai segundo Q(t) = Q₀ · e^−0,05t, com t em anos. Determine a meia-vida do isótopo e o tempo necessário para que reste apenas 10% da quantidade inicial. Use ln 2 = 0,693 e ln 10 = 2,303.

Ver gabarito

Em cada caso, pergunte "a base elevada a quanto dá o logaritmando?".

log₂(32): 2⁵ = 32, logo 5.

log₃(1/9): 3⁻² = 1/9, logo −2. Logaritmando entre 0 e 1 dá logaritmo negativo — mas o logaritmando em si continua positivo, então o logaritmo existe.

log₅(1) = 0, porque 5⁰ = 1.

log(0,001): a base omitida é 10, e 10⁻³ = 0,001, logo −3.
As três condições de existência valem ao mesmo tempo.

Logaritmando positivo: 10 − x > 0 ⟹ x < 10.

Base positiva: x − 2 > 0 ⟹ x > 2.

Base diferente de 1: x − 2 ≠ 1 ⟹ x ≠ 3.

Interseção: 2 < x < 10, com x ≠ 3.

A condição esquecida com mais frequência é a terceira, justamente por parecer detalhe.
Quebre cada logaritmando em fatores 2 e 3.

log 12 = log(2² · 3) = 2 · 0,30 + 0,48 = 0,60 + 0,48 = 1,08

log 1,5 = log(3 ÷ 2) = 0,48 − 0,30 = 0,18

log √6 = ½ · log 6 = ½ · (log 2 + log 3) = ½ · 0,78 = 0,39

Conferindo a ordem de grandeza: 12 está entre 10 e 100, então log 12 tem de ficar entre 1 e 2 — e 1,08 fica. Já 1,5 e √6 ≈ 2,45 estão entre 1 e 10, então os logaritmos ficam entre 0 e 1. Todos batem.
Tanto 8 quanto 32 são potências de 2, então mude para a base 2:

log₈(32) = log₂(32) ÷ log₂(8) = 5 ÷ 3 = 5/3, ou aproximadamente 1,67.

Conferindo: 8^5/3 = (2³)^5/3 = 2⁵ = 32. Fecha.
Domínio: 2x − 1 > 0 ⟹ x > ½.

Passando para a forma exponencial: 2x − 1 = 3² = 9.

2x = 10 ⟹ x = 5, que respeita o domínio.

Conferindo: log₃(9) = 2. Fecha.
É preciso que o logaritmando seja positivo: x² − 5x + 6 > 0.

Raízes: Δ = 25 − 24 = 1, logo x = (5 ± 1) ÷ 2, ou seja 2 e 3.

Como a = 1 > 0, a parábola abre para cima e fica positiva fora do intervalo das raízes.

D = {x ∈ ℝ | x < 2 ou x > 3}

Atenção: é "fora das raízes", não "entre elas" — e nem 2 nem 3 entram, porque ali o logaritmando zera.
Domínio antes de tudo: x > 0 e x − 3 > 0, o que exige x > 3.

Juntando pelo produto: log[x(x − 3)] = 1, e como a base é 10:

x² − 3x = 10¹ = 10 ⟹ x² − 3x − 10 = 0.

Δ = 9 + 40 = 49, e x = (3 ± 7) ÷ 2, dando x = 5 e x = −2.

O −2 está fora do domínio: log(−2) não existe. É raiz estranha, criada ao juntar os dois logaritmos, e vai fora.

x = 5

Conferindo: log 5 + log 2 = log 10 = 1. Fecha.
Domínio: x − 1 > 0 ⟹ x > 1.

Escreva o 2 como logaritmo da mesma base: (1/3)² = 1/9, então 2 = log_1/3(1/9).

log_1/3(x − 1) > log_1/3(1/9)

A base 1/3 está entre 0 e 1, então a função é decrescente e a desigualdade inverte:

x − 1 < 1/9 ⟹ x < 10/9.

Cruzando com o domínio: 1 < x < 10/9.

Conferindo com x = 1,05, que está dentro: x − 1 = 0,05, e log_1/3(0,05) ≈ 2,7, que é de fato maior que 2. Já x = 1,2, fora do intervalo, dá log_1/3(0,2) ≈ 1,5, que não serve. O intervalo está certo.

Quem esquece de inverter responde x > 10/9 e erra a questão inteira, mesmo com o resto correto.
Domínio: x > 0.

As bases são diferentes, então não dá para somar direto. Leve a segunda para a base 2 por mudança de base:

log₄(x) = log₂(x) ÷ log₂(4) = log₂(x) ÷ 2.

Chamando y = log₂(x):

y + y/2 = 6 ⟹ (3/2)y = 6 ⟹ y = 4.

Voltando: log₂(x) = 4 ⟹ x = 2⁴ = 16.

Conferindo: log₂(16) = 4 e log₄(16) = 2, e 4 + 2 = 6. Fecha.

Não pare no y: a questão pede x, e 4 é o logaritmo, não a resposta.
Meia-vida. É o tempo para sobrar metade, ou seja Q = Q₀/2. O Q₀ cancela:

e^−0,05t = 1/2

Aplicando ln nos dois lados: −0,05t = ln(1/2) = −ln 2 = −0,693.

t = 0,693 ÷ 0,05 = 13,86 anos, cerca de 13 anos e 10 meses.

Até restar 10%. Agora Q = 0,1 · Q₀:

e^−0,05t = 0,1 = 1/10 ⟹ −0,05t = −ln 10 = −2,303.

t = 2,303 ÷ 0,05 = 46,06 anos.

Conferindo pela ordem de grandeza: 46,06 ÷ 13,86 ≈ 3,3 meias-vidas. Três meias-vidas deixariam 1/8 = 12,5%, e uma fração a mais leva a 10%. Coerente.

Repare que a resposta não depende de Q₀: a meia-vida é a mesma para 1 g ou para 1 tonelada.