Função inversa e composta

Composição de funções

Compor duas funções é ligá-las em série: a saída da primeira vira a entrada da segunda. É o que acontece toda vez que um preço passa por um desconto e depois por um imposto, ou que uma temperatura vai de Celsius para Fahrenheit e daí para Kelvin.

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

• f — a função aplicada primeiro, a de dentro;
• g — a função aplicada depois, a de fora;
• x — a entrada, que precisa servir para f.

O símbolo ∘ lê-se "bola". A armadilha está aqui: em g ∘ f, quem age primeiro é f, a que está escrita por último. A leitura correta é de dentro para fora, como no parêntese de g(f(x)).

1.1 Exemplo resolvido

Com f(x) = x + 2 e g(x) = x², calcule (g ∘ f)(3) e (f ∘ g)(3).

(g ∘ f)(3) = g(f(3)) = g(5) = 5² = 25

(f ∘ g)(3) = f(g(3)) = f(9) = 9 + 2 = 11

Resultados diferentes, e não por acaso: a composição não é comutativa. Somar 2 e depois elevar ao quadrado não é elevar ao quadrado e depois somar 2 — assim como vestir meia e depois sapato não dá no mesmo que vestir sapato e depois meia.

Para obter a fórmula geral, substitua a expressão inteira no lugar do x:

(g ∘ f)(x) = g(x + 2) = (x + 2)² = x² + 4x + 4

(f ∘ g)(x) = f(x²) = x² + 2

O erro mais comum nessa passagem é esquecer o parêntese: em g(x + 2) o bloco inteiro é elevado ao quadrado, não só o x. Confira sempre com um número: para x = 3, a primeira fórmula dá 9 + 12 + 4 = 25, que é o valor já calculado.

O domínio da composta

Este é o ponto que separa quem decorou de quem entendeu. Para que g(f(x)) exista, duas coisas precisam acontecer ao mesmo tempo:

Quem olha só para a fórmula final perde a primeira condição. Tome f(x) = √x e g(x) = x². A composta é

(g ∘ f)(x) = (√x)² = x

e a fórmula final, x, parece valer em todo lugar. Mas o domínio é [0, +∞), e não ℝ: a raiz do caminho proibiu os negativos, e o fato de ela sumir na simplificação não devolve nada. O domínio se decide antes de simplificar.

2.1 Exemplo resolvido

Com f(x) = x − 4 e g(x) = 1 ÷ x, determine (g ∘ f)(x) e o seu domínio.

(g ∘ f)(x) = 1 ÷ (x − 4)

f aceita qualquer real, então a primeira condição não barra nada. Já g exige entrada diferente de zero, ou seja f(x) ≠ 0, o que dá x ≠ 4.

D = ℝ − {4}

Decompor: o caminho inverso

A prova costuma pedir o contrário: dada uma função, escrever quais duas a formam. Serve para simplificar conta, e é pré-requisito de derivada mais adiante.

A regra prática: o que está dentro do radical, do parêntese ou do denominador é a função de dentro; o que se faz com esse bloco é a de fora.

Em todos, h = g ∘ f. A conferência é imediata: substitua f dentro de g e veja se volta o h original. E a decomposição não é única — √(3x + 1) também sai de f = 3x e g = √(x + 1). A questão costuma pedir a mais simples.

O que é a função inversa

A função inversa desfaz o que a função fez. Se f leva 2 em 5, então f⁻¹ leva 5 de volta em 2:

f(a) = b ⟺ f⁻¹(b) = a

Ou seja, cada par (a, b) de f vira o par (b, a) de f⁻¹: as coordenadas trocam de lugar. Essa única frase explica tudo o que vem depois, inclusive o gráfico.

4.1 Nem toda função tem inversa

Só função bijetora tem inversa que também é função, e os dois motivos são concretos:

• se f não é injetora, dois valores de entrada dão a mesma saída — e a volta ficaria ambígua. Em f(x) = x², tanto 3 quanto −3 dão 9: perguntar "de onde veio o 9?" não tem resposta única;
• se f não é sobrejetora, há elementos do contradomínio que ninguém atinge — e a volta ficaria indefinida ali.

No gráfico há um teste rápido: se alguma reta horizontal corta a curva em mais de um ponto, a função não é injetora e não tem inversa naquele domínio.

Como achar a inversa

São três passos mecânicos:

1. escreva y = f(x);
2. troque x por y e y por x;
3. isole o y. O que sobrou é f⁻¹(x).

O passo 2 é a tradução algébrica da troca de coordenadas da seção anterior. Quem pula a troca acaba isolando a variável errada e devolve a própria f.

5.1 Caso do 1º grau

Ache a inversa de f(x) = 2x − 1.

y = 2x − 1 ⟹ x = 2y − 1 ⟹ 2y = x + 1

f⁻¹(x) = (x + 1) ÷ 2

A conferência obrigatória é compor as duas: se a inversa está certa, elas se cancelam e sobra o próprio x.

f(f⁻¹(x)) = 2 · [(x + 1) ÷ 2] − 1 = x + 1 − 1 = x ✔

Essa checagem custa uma linha e pega qualquer erro de sinal.

5.2 Caso da função racional

Ache a inversa de f(x) = (3x − 2) ÷ (x + 1).

Depois da troca, o y aparece em dois lugares. A saída é multiplicar em cruz e juntar os termos com y de um lado só:

x = (3y − 2) ÷ (y + 1) ⟹ x(y + 1) = 3y − 2

xy + x = 3y − 2 ⟹ xy − 3y = −2 − x ⟹ y(x − 3) = −(x + 2)

f⁻¹(x) = (x + 2) ÷ (3 − x)

Conferindo com um número: f(0) = −2 ÷ 1 = −2, e f⁻¹(−2) = 0 ÷ 5 = 0. Voltou ao ponto de partida.

Domínio e imagem trocam de lugar

Se os pares (a, b) viram (b, a), então o que era entrada vira saída:

D(f⁻¹) = Im(f) · Im(f⁻¹) = D(f)

É daqui que sai boa parte das questões, porque permite achar a imagem de f — que costuma dar trabalho — olhando para o domínio da inversa, que é fácil.

No exemplo 5.2: f tem D = ℝ − {−1}, pelo denominador. A inversa (x + 2) ÷ (3 − x) tem domínio ℝ − {3}. Logo a imagem de f é ℝ − {3} — o valor 3 nunca é atingido, e é justamente a assíntota horizontal da curva.

O gráfico: simetria em relação à bissetriz

Trocar as coordenadas de um ponto é, geometricamente, refleti-lo na reta y = x. Então os gráficos de f e de f⁻¹ são simétricos em relação à bissetriz.

Três consequências que rendem questão:

• dobrar a folha na bissetriz faz um gráfico cair exatamente sobre o outro;
• onde f corta o eixo y, a inversa corta o eixo x — e vice-versa;
• se as duas curvas se cruzam, o ponto de encontro costuma estar sobre a bissetriz, onde f(x) = x. Resolver essa equação simples muitas vezes substitui todo o resto da conta.

Um par que você já conhece: a exponencial e o logaritmo. Uma tem domínio ℝ e imagem (0, +∞); a outra tem domínio (0, +∞) e imagem ℝ. Os gráficos das duas são reflexos um do outro na bissetriz, e é por isso que os domínios aparecem trocados.

Restringir o domínio para poder inverter

Quando a função não é injetora, não se muda a fórmula: corta-se o domínio, até sobrar um pedaço em que ela seja injetora.

O caso clássico é f(x) = x². Em ℝ ela não tem inversa, porque 3 e −3 vão para o mesmo 9. Mas em [0, +∞) nenhum valor se repete, e a imagem também é [0, +∞):

f: [0, +∞) → [0, +∞), f⁻¹(x) = √x

Se a restrição fosse o outro lado, (−∞, 0], a inversa seria f⁻¹(x) = −√x. A inversa depende da restrição escolhida — por isso o enunciado sempre declara o domínio, e ignorá-lo é perder a questão.

É também a razão de √9 valer 3 e não ±3: o símbolo de raiz é a inversa do quadrado restrito aos não negativos, e uma função devolve um valor só. O ± aparece na resolução de x² = 9, que é outra coisa — ali se procuram todas as soluções, não a imagem de uma função.

A mesma ideia reaparece em trigonometria: o seno se repete de 2π em 2π, e só depois de restringi-lo a um intervalo é que faz sentido falar em arco-seno.

Exercícios

1. Dadas f(x) = 2x + 3 e g(x) = x² − 1, calcule (g ∘ f)(2) e (f ∘ g)(2).

2. Com f(x) = 3x − 1 e g(x) = x + 4, determine as fórmulas de (f ∘ g)(x) e (g ∘ f)(x).

3. Sejam f(x) = x² + 1 e g(x) = 2x − 5. Obtenha (f ∘ g)(x) e (g ∘ f)(x), e verifique em x = 1 que as duas são diferentes.

4. Escreva cada função abaixo como g ∘ f, indicando f e g: h(x) = √(3x + 1) e p(x) = 1 ÷ (x² + 1).

5. Dadas f(x) = 1 ÷ x e g(x) = √x, determine (g ∘ f)(x) e o seu domínio.

6. Determine a inversa de f(x) = 3x − 6 e confira o resultado compondo as duas funções.

7. Seja f(x) = (2x + 1) ÷ (x − 3). Determine f⁻¹(x), o domínio e a imagem de f e o domínio e a imagem da inversa.

8. Considere f(x) = √(x − 2), com x ≥ 2. Determine f⁻¹(x) e dê domínio e imagem das duas funções.

9. Com f(x) = √(x − 1) e g(x) = 1 ÷ (x − 2), determine (g ∘ f)(x) e o seu domínio.

10. A função f(x) = x² − 4x + 3 não é injetora em ℝ. Determine uma restrição de domínio que a torne bijetora, indique a imagem correspondente e obtenha a inversa nessa restrição.

11. Sabendo que f(x) = 2x − 1 e que (f ∘ g)(x) = 6x + 3, determine g(x). Em seguida calcule (g ∘ f)(x) e compare.

12. Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = x − 3. Determine (f ∘ g)⁻¹(x) e verifique se ela coincide com (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x) ou com (f⁻¹ ∘ g⁻¹)(x).