Estática: equilíbrio de corpos

Objetivos da aula

Enunciar as duas condições de equilíbrio e saber quando cada uma é necessária.
Calcular o momento (torque) de uma força em relação a um ponto.
Resolver problemas de viga apoiada e de alavanca escolhendo bem o polo.
Localizar o centro de gravidade de um corpo homogêneo.

O que é estar em equilíbrio

A estática estuda corpos em equilíbrio. Equilíbrio aqui não quer dizer "parado": quer dizer sem aceleração — nem de translação, nem de rotação. Um corpo parado e um corpo em movimento retilíneo uniforme estão igualmente em equilíbrio.

Um corpo pode acelerar de dois jeitos: saindo do lugar, ou girando. Por isso são duas condições, e as duas precisam valer ao mesmo tempo:

As duas condições de equilíbrio

Equilíbrio de translação: a soma vetorial das forças é nula — ΣF = 0. O corpo não sai do lugar.
Equilíbrio de rotação: a soma dos momentos é nula — Στ = 0. O corpo não gira.

A segunda condição não é decoração. Uma escada encostada na parede pode ter todas as forças se cancelando e ainda assim escorregar girando; um parafuso apertado por uma chave tem resultante praticamente nula e gira do mesmo jeito.

Primeira condição: as forças se cancelam

ΣF = 0

Como forças são vetores, na prática você separa por direção e resolve uma equação em cada uma: a soma das forças horizontais é zero, e a soma das verticais é zero. Em problemas de ensino médio quase tudo é vertical.

2.1 Exemplo resolvido

Uma placa horizontal de 5 m de comprimento é apoiada em dois pontos, A e B, cada um a 1 m de uma das extremidades. Um peso de 100 N está suspenso no centro da placa. Determine as forças de reação em A e B, desprezando o peso da placa.

A carga está no centro, e os dois apoios estão à mesma distância do centro (1,5 m cada). Pela simetria, as duas reações são iguais — e a condição de translação dá o valor:

N_A + N_B = 100 N ⟹ N_A = N_B = 50 N

Repare que a simetria fez o trabalho. Tire a carga do centro e esse atalho morre — aí é preciso a segunda condição, que é o assunto da próxima seção.

Momento de uma força (torque)

O momento de uma força, ou torque, mede a capacidade que uma força tem de fazer um corpo girar em torno de um ponto. Depende de três coisas: do tamanho da força, da distância até o ponto de giro e da direção em que ela é aplicada.

τ = r · F · sen θ

τ — o momento (torque), em newton-metro (N·m);
r — a distância do ponto de giro até o ponto de aplicação da força, em metros (m);
F — o módulo da força, em newtons (N);
θ — o ângulo entre a força e a linha que liga o ponto de giro ao ponto de aplicação.

Quando a força é perpendicular à barra, sen θ = 1 e a conta vira simplesmente τ = r · F. É o caso da maioria esmagadora dos exercícios. E quando a força aponta ao longo da barra, θ = 0, sen θ = 0 e o torque é nulo: empurrar uma porta na direção da dobradiça não a abre.

Torque tem sinal, e o sinal indica o sentido do giro. A convenção usual é positivo para o giro anti-horário e negativo para o horário — mas qualquer convenção serve, desde que você use a mesma do começo ao fim do problema.

Figura 1. A força é perpendicular ao portão, então τ = r · F = 2 · 50 = 100 N·m. A mesma força aplicada na metade da distância produziria metade do torque — é por isso que maçanetas ficam longe da dobradiça.

3.1 Exemplo resolvido

Um portão de 2 m de comprimento é preso por uma dobradiça em um dos lados e sofre uma força horizontal de 50 N aplicada perpendicularmente à extremidade oposta. Qual o torque gerado?

τ = r · F · sen 90° = 2 · 50 · 1 = 100 N·m

Resolvendo vigas e alavancas

Quando a carga não está no centro, a simetria não ajuda e é preciso usar as duas condições. Existe um truque que transforma esse tipo de problema numa conta de uma linha:

A escolha do polo

No equilíbrio, a soma dos momentos é zero em relação a qualquer ponto. Como você escolhe o ponto, escolha aquele por onde passa a força que você não conhece — o torque dela fica zero (porque r = 0) e ela simplesmente some da equação.

4.1 Exemplo resolvido

Uma viga homogênea de 4 m, de peso desprezível, está apoiada nas duas extremidades, A e B. Uma carga de 300 N é colocada a 1 m do apoio A. Determine as reações nos dois apoios.

Figura 2. Viga apoiada com carga fora do centro. O apoio mais próximo da carga sustenta a maior parte dela.

Passo 1 — escolher o polo. Tome o ponto A. A reação N_A passa por ele, então sai da conta.

Passo 2 — somar os momentos em torno de A. A carga tenta girar a viga num sentido, a reação em B no outro:

N_B · 4 = 300 · 1 ⟹ N_B = 75 N

Passo 3 — usar a primeira condição. Na vertical, o que sobe iguala o que desce:

N_A + N_B = 300 ⟹ N_A = 300 − 75 = 225 N

O resultado faz sentido: a carga está três vezes mais perto de A do que de B, e A sustenta três vezes mais. É exatamente o princípio da alavanca — e a razão de uma gangorra equilibrar uma criança pesada perto do apoio com uma leve na ponta.

Centro de gravidade

O centro de gravidade é o ponto onde se pode considerar que todo o peso do corpo está concentrado. Na prática, é o ponto em que você desenha a seta do peso no diagrama de forças, em vez de desenhar uma seta para cada pedacinho do corpo.

Num corpo homogêneo e simétrico, o centro de gravidade coincide com o centro geométrico. Uma barra uniforme de 10 m tem centro de gravidade a 5 m de cada extremidade; um disco tem no centro; um cubo, no meio.

Isso passa a importar quando o peso da própria viga não pode ser desprezado: nesse caso ele entra como mais uma força para baixo, aplicada no centro de gravidade, e participa normalmente da soma dos momentos.

O centro de gravidade também explica a estabilidade: um corpo tomba quando a vertical que passa pelo seu centro de gravidade sai da base de apoio. É por isso que um ônibus alto e estreito tomba numa curva em que um carro baixo passa tranquilo.