Gravitação universal

A lei da gravitação universal

A grande sacada de Newton foi perceber que a força que faz uma maçã cair e a força que mantém a Lua em órbita são a mesma força. Antes dele, o céu e a Terra obedeciam a regras diferentes; depois, a uma só.

Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles:

F = G · (m₁ · m₂) ÷ r²

• F — o módulo da força gravitacional, em newtons (N);
• G — a constante da gravitação universal, 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²;
• m₁ e m₂ — as massas dos dois corpos, em quilogramas (kg);
• r — a distância entre os centros dos dois corpos, em metros (m).

Duas observações que decidem questão:

• O r é medido entre os centros, não entre as superfícies. Para um satélite a 300 km de altitude, r é o raio da Terra mais os 300 km.
• O quadrado é implacável. Dobrar a distância não reduz a força pela metade: reduz a um quarto. Triplicar reduz a um nono.

1.1 Exemplo resolvido

Calcule a força gravitacional entre a Terra (m_T = 5,97 × 10²⁴ kg) e a Lua (m_L = 7,35 × 10²² kg), sabendo que a distância entre elas é 3,84 × 10⁸ m.

F = 6,67 × 10⁻¹¹ · (5,97 × 10²⁴ · 7,35 × 10²²) ÷ (3,84 × 10⁸)²

O produto das massas dá 4,39 × 10⁴⁷ kg², e o quadrado da distância dá 1,47 × 10¹⁷ m². Logo:

F ≈ 1,98 × 10²⁰ N

De onde vem o g de 9,8 m/s²

O peso que você usa desde a aula de dinâmica, P = m · g, é só a lei da gravitação aplicada à superfície de um planeta. Igualando as duas expressões para a mesma força:

m · g = G · (M · m) ÷ r²

A massa m do objeto aparece dos dois lados e se cancela, sobrando:

g = G · M ÷ r²

Onde M é a massa do planeta em quilogramas (kg) e r o seu raio em metros (m). Com os números da Terra — M = 5,97 × 10²⁴ kg e r = 6,37 × 10⁶ m — a conta dá 9,8 m/s².

Duas consequências importantes saem daí. Primeira: g não depende da massa do objeto que cai — ela se cancelou. Uma pena e um martelo caem juntos no vácuo. Segunda: g é uma propriedade do planeta. Na Lua vale cerca de 1,6 m/s², e é por isso que os astronautas saltavam daquele jeito.

2.1 Exemplo resolvido

Qual a força que a Terra exerce sobre um objeto de 10 kg na superfície?

F = m · g = 10 · 9,8 = 98 N

As leis de Kepler

Kepler descreveu o movimento dos planetas décadas antes de Newton explicar a causa. As três leis dele são puramente descritivas — e continuam valendo, hoje entendidas como consequência da lei da gravitação.

3.1 Primeira lei — lei das órbitas

Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos da elipse — não o centro.

As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses pouco achatadas, quase circulares. Por isso tratar a órbita como circular, como se faz na próxima seção, dá resultados bons.

3.2 Segunda lei — lei das áreas

A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Como a área é a mesma, quando o planeta está mais perto do Sol o arco percorrido precisa ser maior — ou seja, ele anda mais rápido quando está mais próximo e mais devagar quando está distante. A velocidade de um planeta não é constante ao longo do ano.

3.3 Terceira lei — lei dos períodos

O quadrado do período de revolução é proporcional ao cubo do raio médio da órbita:

T² ÷ R³ = constante

• T — o período da órbita (o "ano" do planeta), em segundos (s);
• R — o raio médio da órbita, em metros (m).

A constante é a mesma para todos os corpos que orbitam o mesmo astro central. Isso permite comparar dois planetas sem conhecer a constante: basta escrever T₁² ÷ R₁³ = T₂² ÷ R₂³. Quanto mais longe o planeta, mais longo o seu ano.

Velocidade orbital

Um satélite em órbita circular está em queda livre permanente: a força gravitacional é exatamente a força centrípeta que o mantém curvando. Igualando as duas:

G · (M · m) ÷ r² = m · v² ÷ r

A massa do satélite se cancela de novo, e sobra:

v = √(G · M ÷ r)

• v — a velocidade orbital, em metros por segundo (m/s);
• M — a massa do corpo central, em quilogramas (kg);
• r — o raio da órbita, medido a partir do centro do corpo central, em metros (m).

Note o que a fórmula diz: a velocidade de órbita não depende da massa do satélite, só de quão longe ele está. Órbita mais alta, velocidade menor.

5.1 Exemplo resolvido

Calcule a velocidade orbital de um satélite que orbita a Terra a 300 km de altitude (M_T = 5,97 × 10²⁴ kg, raio da Terra 6,37 × 10⁶ m).

Primeiro o raio da órbita — altitude mais raio da Terra, o erro mais comum da questão:

r = 6,37 × 10⁶ + 3,00 × 10⁵ = 6,67 × 10⁶ m

Agora a velocidade:

v = √(6,67 × 10⁻¹¹ · 5,97 × 10²⁴ ÷ 6,67 × 10⁶) ≈ 7,73 km/s

Quase 28 mil km/h. É a velocidade da Estação Espacial Internacional, que orbita a uma altitude parecida e dá uma volta na Terra a cada 90 minutos.

Velocidade de escape

A velocidade de escape é a menor velocidade com que um corpo precisa ser lançado para nunca mais voltar — para se afastar indefinidamente, sem propulsão depois do lançamento. Ela sai da conservação da energia: a energia cinética do lançamento tem que dar conta de toda a energia potencial gravitacional.

v_e = √(2 · G · M ÷ r)

• v_e — a velocidade de escape, em metros por segundo (m/s);
• M — a massa do astro, em quilogramas (kg);
• r — a distância ao centro do astro no ponto de lançamento, em metros (m).

É a velocidade orbital multiplicada por √2. Para a superfície da Terra:

v_e = √(2 · 6,67 × 10⁻¹¹ · 5,97 × 10²⁴ ÷ 6,37 × 10⁶) ≈ 11,2 km/s

Como a massa do projétil não aparece, o valor é o mesmo para uma sonda e para uma pedra. E como depende da massa e do raio do astro, ele muda de mundo para mundo: na Lua a velocidade de escape é de apenas 2,4 km/s — por isso ela não conseguiu segurar uma atmosfera.